a,b,c 都是质数（不必都相异），a+b+c+abc=99 ，求 a+b+c

luyuanhong · 发表于 2013-6-29 23:37

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

a,b,c 都是質數(不必都相異)，且滿足 a+b+c+abc=99, 求 a+b+c=?

ans:23

wangyangke · 发表于 2013-6-30 01:44

[这个贴子最后由wangyangke在 2013/06/30 02:17am 第 1 次编辑]

1， a、b、c最大值
最大值设为c
min(a、b、c)可以是2，
那么a+b+c+abc不小于4+5c，即4+5c不大于99，c不大于19；
2.解a、b、c
又c=19时，a、b之积不小于6时，无解；
c=19，a、b之积不等于6时，解出a=b=2
3.c=17时，a、b之积不小于6时，无解；此情况无解。
4.c=13、11、7、5时，a+b+13+13ab=99 无解。
仅一组解。

luyuanhong · 发表于 2013-6-30 07:16

谢谢楼上 wangyangkee 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

天山草 · 发表于 2013-6-30 17:50

[这个贴子最后由天山草在 2013/06/30 06:06pm 第 4 次编辑]

如果将原题改为 a+b+c+abc=999999,又当怎样解？
         改为 a+b+c+abc=99999999 呢？

wangyangke · 发表于 2013-6-30 18:09

天山顶上草难倒一群牛

wangyangke · 发表于 2013-7-1 06:41

天山草老师的6到8个9的改动，说明这种题目或这种瞎子撞天昏的解题，无意义，，，

王成5 · 发表于 2013-7-1 07:14

[这个贴子最后由王成5在 2013/07/01 07:22am 第 1 次编辑]

a,b,c都是质数，且满足a+b+c+abc=999999，求a,b,c
  解：  首先a.b.c三个数不可能都是奇数，不然abc也为奇数，
四个奇数相加，和为偶数，不可能等于999999。因此a,b,c中必有一
个是偶数，而偶质数只有一个，那就是2。设c=2带入原方程得
    a+b+2ab=999997    ①  ,  对于①由于2ab是偶数，999997
减去2ab是个奇数，所以a,b俩数不可能全是奇数，必有一个是偶数，
即必有一个是2，设b=2  带入①得：a+2+4a=999997即
5a=999995, a=199999。

luyuanhong · 发表于 2013-7-1 07:50

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/07/01 07:50am 第 1 次编辑]

楼上王成5 的解答很好。我已将这种解法转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

天山草 · 发表于 2013-7-1 09:25

7 楼王成武的解答逻辑性很强且非常简炼。佩服！

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