ΔABC 和 XY 与同一圆外切于 D,E,F 和 P 点，求证 (AX/XB)/(AF/FB)+(AY/YC)/(AE/

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/07/01 00:00pm 第 2 次编辑]

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

kanyikan

证明：令AF=AE=x,BF=BD=y,CD=CE=z,XF=XP=p,YE=YP=q,
要证的结论为((x-p)/(y+p))/(x/y)) + ((x-q)/(z+q))/(x/z)) =1，
整理化简后为xyz=pq(x+y+z)+(p+q)yz，
在△AXY和△ABC中，由余弦定理，
cosA=((x-p)^2+(x-q)^2-(p+q)^2)/(2(x-p)(x-q))=((x+y)^2+(x+z)^2-(y+z)^2)/(2(x+y)(x+z))，
整理化简后为x(xyz-pq(x+y+z)-(p+q)yz)=0，
由于x≠0，所以有xyz=pq(x+y+z)+(p+q)yz，
因此命题得证。

luyuanhong

谢谢楼上 kanyikan 的解答！我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。