设 a+b+c=3，a^2+b^2+c^2=45，求 a^n/[(a-b)(a-c)]+b^n/[(b-a)(b-c)]+c^n/[(c-a)

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/07/09 10:42pm 第 1 次编辑]

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

kanyikan

欧拉公式：
a^n/((a-b)(a-c))+b^n/((b-c)(b-a))+c^n/((c-a)(c-b))
=0     (n=0,1)
=1     (n=2)
=a+b+c (n=3)

kanyikan

欧拉公式扩展：
a^n/((a-b)(a-c))+b^n/((b-c)(b-a))+c^n/((c-a)(c-b))
=0     (n=0,1)
=1     (n=2)
=a+b+c (n=3)
-------------------------------
=a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca     (n=4)
=a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+c^2a+b^2a+c^2b+a^2c+abc  (n=5)

luyuanhong

luyuanhong