在等腰三角形 ABC 中，BC=2 ，向量 AD=DC ，AE=EB/2 ，BD·AC=-1/2 ，求 CE·AB

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

utgarylee

计算结果=2

波斯猫猫

思路（用坐标法）：以BC所在直线为x轴，线段BC的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，由条件有
A（0，2h）、B（-1，0）、C（1，0）、D（1/2，h）、E（-1/3，4h/3），
则向量BD=（3/2，h），向量AC=（1，-2h）。所以由其内积=-1/2易得h=1。
所以向量CE=（-4/3，4/3），向量AB=（-1，-2），故其内积为-4/3。

ccmmjj

楼上一看就知道是错的。我扳开手指算一下，答案应该是-4/3.
方法是这样的，如图

做垂线ＢＧ、ＣＦ。设腰长为a,底角为θ，▕ＢF▏=▕CG▏=m,则m=2cosθ, a=secθ　。
根据内积定义，(→ＢＤ)·(→ＡＣ)＝a(m-a/2)=2-(secθ)^2/2=-1/2,算出(secθ)^2＝5.
所以(→ＣＥ)·(→ＡＢ)＝a(m-2a/3)=2-2(secθ)^2/3=-4/3。

luyuanhong

谢谢楼上 波斯猫猫 和 ccmmjj 的解答。

我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。