比较 e^π 与 π ^e 的大小, e^(e^π) 与 π^(π ^e) 的大小.

elim

题: 比较 e^π 与 π ^e 的大小,  e^(e^π) 与 π^(π ^e) 的大小.

elim

大家可以试试自己的方法: 条条道路通拉萨.

王守恩

elim 发表于 2019-7-26 11:40
大家可以试试自己的方法: 条条道路通拉萨.

1，a,b 是正数，恒有：e^a > b^(a*e/b)   
   在这里：e*a = b*(a*e/b)
联系本题：e*π = π*e   即：e^π > π^e
2，因为 e^8 < π^7
e^(e^π) < e^(8*3) < π^(7*3) < π^(π^e)
     所以： e^(e^π) < π^(π^e)
3，设 p = e^π - π^e = 0.6815......
e^(5+p) < π^5
e^(6+p) < π^6
e^(7+p) < π^7
e^(8+p) < π^8
e^(9+p) < π^9
........
e^(20+p) < π^20
e^(21+p) < π^21
e^(22+p) < π^22
e^(e^π) < π^(π^e)
e^(23+p) < π^23
e^(24+p) < π^24
e^(25+p) < π^25
.......

elim

楼上王守恩的证法很好.  第一个不等式的证明可能还需要用到微分方法。
第二个证明相当有意思。永远也有一个类似的帖子。由于 e^(e^π) 与  π^(π^e) 相差不止十万八千，所以应该有很多证法。


但是须知，离开了计算器， e^8 < π^7,  21< π^e< e^π < 24 这些结果都很难得到。求一个实数的分数次方很难.

elim

以下这个证明只需知道中值定理和 0 < π - e < 1:

王守恩

王守恩 发表于 2019-7-26 21:24
1，a,b 是正数，恒有：e^a > b^(a*e/b)   
   在这里：e*a = b*(a*e/b)
联系本题：e*π = π*e   即 ...

ln(e)/e>ln(3)/3>ln(π)/π>ln(4)/4>ln(5)/5>ln(6)/6>ln(7)/7>........
即：ln(e)/e>ln(π)/π  π*ln(e)>e*ln(π)  ln(e^π)>ln(π^e)  e^π>π^e

elim

(d/dx)((ln x)/x)=(1-ln x)/x^2.  所以只要正实数不等于e 就有 e^(1/e)>x^(1/x)．