[求助]天山草网友有空吗？

lsx2013 · 发表于 2013-7-29 08:51

http://en.wikipedia.org/wiki/Explicit_formula

qingjiao · 发表于 2013-7-29 09:50

qingjiao · 发表于 2013-7-29 09:57

这个结果正常得多了。上图可见，x>2^8.5=362以后，没有一个J(x)-Li(x)的绝对值>0.5*√x/logx。
如果你的Li(x)能达到15位有效数字更好。因为我用excel画图，excel能接受的最大有效数字是15位。

[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 qingjiao 在时添加 -=-=-=-=-
若数据能再密一倍更好，即取x=2, 2^1.25, 2^1.5, 2^1.75, 2^2, 2^2.25, 2^2.5, 2^2.75, 2^3,......

天山草 · 发表于 2013-7-29 10:55

[这个贴子最后由天山草在 2013/07/29 10:57am 第 1 次编辑]

下面这个有效数字位数多些：
 k            Li(2^k)
------------------------------------
 1.5      0.957928044880344
 2        1.922421314921560
 2.5      2.982385618449390
 3        4.208554519441440
 3.5      5.675903834672520
 4        7.474552683593570
 4.5      9.719240602957210
 5        12.559928396974200
 5.5      16.195090849511700
 6        20.889504547933500
 6.5      26.997926252731400
 7        34.997384537111900
 7.5      45.531037526777400
 8        59.467901557799800
 8.5      77.984405475148400
 9        102.675953388920000
 9.5      135.709552470284000
 10       180.032875901577000
 10.5     239.660881948332000
 11       320.069251894566000
 11.5     428.734657477392000
 12       575.877340251031000
 12.5     775.482599065329000
 13       1046.706694545240000
 13.5     1415.813450021020000
 14       1918.843207257750000
 14.5     2605.293645729700000
 15       3543.198868699560000
 15.5     4826.141874858550000
 16       6582.941582634970000
 16.5     8991.041274387610000
 17       12295.021965953100000
 17.5     16832.214426121900000
 18       23068.147953115700000
 18.5     31645.635076733200000
 19       43452.766241015800000
 19.5     59717.137419477900000
 20       82136.482492675600000
 20.5     113059.843275202000000
 21       155738.919504397000000
 21.5     214676.906277965000000
 22       296112.793029690000000
 22.5     408693.945913910000000
 23       564410.467244339000000
 23.5     779893.613806987000000
 24       1078220.655106070000000
 24.5     1491424.420002980000000
 25       2063983.632932020000000
 25.5     2857678.652743570000000
 26       3958348.503195160000000
 26.5     5485296.018692010000000
 27       7604382.105741880000000
 27.5     10546260.466933000000000
 28       14631776.628818100000000
 28.5     20307353.972676200000000
 29       28194304.383017000000000
 29.5     39157557.410324700000000
 30       54401474.573552700000000
 30.5     75603449.267158300000000
 31       105100229.631071000000000
 31.5     146147819.658953000000000
 32       203284080.954462000000000
 32.5     282834708.140888000000000
 33       393619391.379164000000000
 33.5     547937536.757717000000000
 34       762944444.885291000000000
 34.5     1062572924.456400000000000
 35       1480216941.783010000000000
 35.5     2062480076.410050000000000
 36       2874412058.177990000000000
 36.5     4006825205.030610000000000
 37       5586518341.933980000000000
 37.5     7790565604.889520000000000
 38       10866289001.458000000000000
 38.5     15159179326.281800000000000
 39       21151933689.074200000000000
 39.5     29519042668.760800000000000
 40       41203130439.888600000000000
 40.5     57521729481.996500000000000
 41       80316641123.154800000000000
 41.5     112162891245.969000000000000
 42       156661093267.164000000000000
 42.5     218846557372.973000000000000
 43       305761828028.788000000000000
 43.5     427258021337.136000000000000
 44       597116514591.736000000000000
 44.5     834619218274.424000000000000
 45       1166747049035.020000000000000
 45.5     1631258226924.510000000000000
 46       2280998920876.290000000000000
 46.5     3189940170959.370000000000000
 47       4461633199430.920000000000000
 47.5     6241053005970.340000000000000
-----------------------------------------

qingjiao · 发表于 2013-7-29 14:05

新数据更好一些，很少有超过0.5的，最大也不过0.6左右。这里取Li(2)=0。
因为按一部分数学家的算法，这个积分是从x=2才开始算的。

天山草 · 发表于 2013-7-29 16:15

[这个贴子最后由天山草在 2013/07/29 04:21pm 第 1 次编辑]

我从 2.5 开始算，确实如楼主所说， J(x) 围绕 Li(x) 上下波动。
  k      J(2^k)/Li(2^k)
---------------------------
 2.5      1.173557161
 3        1.148454490
 3.5      1.115828160
 4        1.014553466
 4.5      0.986016678
 5        1.084135692
 5.5      1.026031087
 6        1.018852950
 6.5      1.019831415
 7        1.014633644
 7.5      1.032472053
 8        0.997757147
 8.5      1.008763953
 9        1.010742680
 9.5      0.998669333
 10       1.004236776
 10.5     0.995694276
 11       0.998908441
 11.5     1.003991770
 12       1.003216068
 12.5     1.000103336
 13       0.998940770
 13.5     0.997728896
 14       1.001603160
 14.5     1.001703027
 15       0.999298655
 15.5     0.999393302
 16       0.999129282
 16.5     1.000136574
 17       1.000167229
 17.5     0.999791344
 18       0.999643515
 18.5     1.000038113
 19       1.000336440
 19.5     1.000046018
 20       0.999878404
 20.5     1.000121043
 21       1.000029501
 21.5     0.999965333
 22       1.000031969
 22.5     1.000005122
 23       0.999975902
 23.5     1.000013915
 24       0.999963445
 24.5     0.999982733
 25       1.000057708
 25.5     1.000024383
 26       1.000003520
 26.5     0.999989979
 27       0.999988734
 27.5     1.000017968
 28       1.000004889
 28.5     1.000008874
 29       0.999993015
 29.5     0.999987267
 30       1.000007118
 30.5     1.000003416
 31       0.999998322
 31.5     0.999995885
 32       0.999997648
 32.5     0.999999331
 33       1.000002596
 33.5     0.999999930
 34       1.000001244
 34.5     1.000001618
 35       0.999998591
 35.5     0.999998328
 36       0.999999369
 36.5     1.000000187
 37       1.000000013
 37.5     0.999999850
 38       0.999999926
 38.5     0.999999404
 39       1.000000212
 39.5     1.000000266
 40       0.999999997
 40.5     1.000000117
 41       0.999999843
 41.5     1.000000101
 42       1.000000124
 42.5     0.999999903
 43       0.999999978
 43.5     1.000000063
 44       1.000000027
 44.5     0.999999977
 45       0.999999951
 45.5     1.000000006
 46       1.000000051
 46.5     1.000000023
 47       1.000000039
 47.5     0.999999997
----------------------------

qingjiao · 发表于 2013-7-29 20:21

天山草网友这个比例在图形中显示不会很理想，因为前面项与1的差的绝对值较大，零点几的数量级；后面项与1的差的绝对值很小，万分之一以下，这样画图时后面的项就和1没有任何区别了，显示不出它的震荡和变化。
其实这个J(x)和以前我请你帮忙算过的ψ(x)很像。ψ(x)的定义是：
ψ(x)=∑logN，当N=P^K，取logP；当N=其他整数，取0。
所以对于素数P的k次方，它的取值仅是logP^k的1/k，而J(x)则是统一取作1/k。
或者说，ψ(x)仅仅是将J(x)的各项用logx调制一遍罢了。

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