log6(a)+log6(b)+log6(c)=6 ，正整数 a,b,c 等比递增，b-a 为正整数的平方，求 a+b+c

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

题  log6(a)+log6(b)+log6(c)=6 ，正整数 a,b,c 等比递增，b-a 为正整数的平方，求 a+b+c 。

解  因为 log6(abc)=log6(a)+log6(b)+log6(c)=6 ，所以 abc=6^6 。

    因为  a,b,c 成等比数列，所以 ac=b^2 ，所以有

        6^6=abc=b^2×b=b^3 ，b=6^2=36 。ac=6^6/b=6^6/6^2=6^4=1296 。

    在 1296 中找一个小于 b=36 的因数 a ，使得 b-a 为正整数的平方。

    经过试探，发现只有一种可能，即 a=27 ，这时 b-a=36-27=9=3^2 正好是一个正整数的平方。

    c=1296/a=1296/27=48 。所以 a+b+c=27+36+48=111 。