求所有正整数 x 使得 (x^3+3)/(x+3) 是整数

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

x = 1 时，(x^3+3)/(x+3) = (1^3+3)/(1+3) = 4/4 = 1 。
x = 3 时，(x^3+3)/(x+3) = (3^3+3)/(3+3) = 30/6 = 5 。
x = 5 时，(x^3+3)/(x+3) = (5^3+3)/(5+3) = 128/8 = 16 。
x = 9 时，(x^3+3)/(x+3) = (9^3+3)/(9+3) = 732/12 = 61 。
x = 21 时，(x^3+3)/(x+3) = (21^3+3)/(21+3) = 9264/24 = 386 。

luyuanhong

drc2000

解：做多项式除法，
(x^3+3)÷(x+3)=x^2-3x+9………余式为-24
即：(x^3+3)/(x+3)=(x^2-3x+9)-24/(x+3)
对于整数x
若要上式左边为整数，
只要-24/(x+3)为整数。
而24的因子为±1,±2,±3,±4,±6,±12,±24
相应的正整数x可取1，3，9，21
(本文旨在补充。以下略。详见教授楼上解答)