求 x^1959-1 除以 (x^2+1)(x^2+x+1) 的余式

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

多項式除法的問題
(x^1959)-1 除以 (x^2+1)(x^2+x+1) 的餘式?

ans: x^3-1

moranhuishou

(x^3)^653-1= x^3 (x^2+1) (x^3+1) (x^2+x+1) (x^3 +x^2+1) + (x^3 -1)

(x^3)^653-1= (x^3 -1)  [mod((x^2+1)(x^2+x+1))]

luyuanhong

谢谢楼上 moranhuishou 的解答（不过到底是怎么做出来的还没有说明白）。
我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

moranhuishou

也没认真验证，觉得大抵如此就发了。
做法也很简单很笨，就用一个具体例子x=2(因x可取任意值)，将1959也用小的数字15（也两素数的乘积）替换。
觉得分解因式与大数分解因数一样，好像也没什么道理好讲，正确才是硬道理。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/08/10 09:30pm 第 1 次编辑]

下面引用由moranhuishou在 2013/08/10 00:14pm 发表的内容：
也没认真验证，觉得大抵如此就发了。
做法也很简单很笨，就用一个具体例子x=2(因x可取任意值)，将1959也用小的数字15（也两素数的乘积）替换。
觉得分解因式与大数分解因数一样，好像也没什么道理好讲，正确才是 ...

你这个式子显然不对：
(x^3)^653-1= x^3 (x^2+1) (x^3+1) (x^2+x+1) (x^3 +x^2+1) + (x^3 -1)
等号右边几个式子中 x 的最高幂次相加，只有 3+2+3+2+3=13 ,远远低于等号左边 x 的幂次 1959 。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/08/10 10:19pm 第 2 次编辑]