地图的边（线）图是一个4—正则图，其顶点着色的色数一定是3

雷明85639720

地图的边（线）图是一个4—正则图，其顶点着色的色数一定是3
雷  明
（二○一八年四月一日）

1、地图是一个3—正则的平面图，一块连续大陆的地图就是一个无割边的3—正则平面图；
2、图的边图（也叫线图）是把原图中的边作为新的顶点，把原图中相邻的边上的新顶点用边相连后所得到的新图；
3、地图的边（线）图是一个4—正则平面图，该4—正则平面图顶点着色的色数一定是3；
4、我这里所说的4—正则平面图是对地图（无割边的3—正则平面图）作边（线）图而得到的平面图，而不是任意的4—正则平面图。
我在研究地图的可3—边着色时，得出了“地图的边（线）图是一个4—正则图平面，该4—正则平面图顶点着色的色数一定是3”的结论。有一位数字先生（现在忘记了是什么数字）把沙特朗的《图论导引》中的图6.2改造成了一个4—正则平面图（如图１），说这个图的顶点着色色数是4而不是3。以前我已经回复了这位数字先生，说我的结论说的是由地图而得到的边（线）图（4—正则平面图）的顶点着色色数是3，而不是任意的4—正则平面图的顶点着色色数都是3。现在再补充说明如下：
地图中的各顶点都是三界顶点，都只连有三条边，所以地图的边（线）图中一定是存在着3—圈的，即存在着三边形的面，其密度一定是3，顶点着色时的色数一定不会小于3。
地图中各边的两端各连着两条边，所以地图的边（线）图中各顶点的度一定是4，所以是一个4—正则平面图。

由于地图的边图各顶点均是4度顶点，所以其各顶点最大只可能处在一个4—轮的中心，而所有4—轮的顶点着色时，最大都只要三种颜色就够了。所以由地图的边图得来的这种4—正则平面图一定是可3—（顶点）着色的。当然地图（无割边的3—正则平面图）也一定是可3—边着色的。
虽然某数字先生改造后的图的密度也是3，也是一个4—正则图，但它却不是从某一个地图作边图而来的4—正则平面图。
证明：已知3—正则图平面图的边数是顶点数的1.5倍，所以，如果图1，b的4—正则平面图是某个地图的边图，则该地图的边数就是图1，b中的顶点数11，该地图的顶点数则应是11÷1.5，但这不可能得到整数，然而图的顶点数却一定是整数，产生了矛盾。这就否定了图1，b是某个地图的边图的假设，当然该图顶点着色的色数也就不一定是3了。

雷  明
二○一八年四月一日于长安

注：此文已于二○一八年四月一日在《中国博士网》上发表过，网址是：

雷明85639720

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