证明：在任意 9 个相异实数中，必有两数 a,b 满足 0＜(a-b)/(1+ab)＜√2-1

luyuanhong · 发表于 2013-9-8 07:59

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/09/08 09:18am 第 1 次编辑]

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

試證在任意 9 個相異實數中，有兩個數 a, b 滿足
0< (a-b)/(1+ab) < √2 - 1

luyucheng1 · 发表于 2013-9-8 08:54

本题的条件存在问题。“任意9个实数”等于没说，而任意2个数，不等式是不成立的。如a=1，b=-1.1........

fungarwai · 发表于 2013-9-8 09:14

很抽象...... a=tanx,b=tany tan0º

luyucheng1 · 发表于 2013-9-8 09:34

相异正数也不行，如a=8，b=9，结果也小于0 。因为都为正数，分母大于0，分子不一定为正数。

luyuanhong · 发表于 2013-9-8 10:12

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/09/08 11:25am 第 2 次编辑]

下面引用由luyucheng1在 2013/09/08 09:34am 发表的内容：
相异正数也不行，如a=8，b=9，结果也小于0 。因为都为正数，分母大于0，分子不一定为正数。

a,b 不是任意两个数，而是我们从 9 个实数中特意找出来的两个数。
例如找到 a=8 , b=9 不行，但可以找 a=9 ，b=8 ，就行了。

luyucheng1 · 发表于 2013-9-8 11:16

那一定是大减小了。严格上应该用abs（a-b）。但还是不对，如a=9，b=0.1 ，则8.9/1.9>4.5，最大值界不成立。

luyuanhong · 发表于 2013-9-8 11:26

luyucheng1 · 发表于 2013-9-8 13:04

题目改成“必有”或“总可以有”2个实数满足。。。。。。就好理解了，但证明还是很难的！

ccmmjj · 发表于 2013-9-12 16:46

这叫鸽笼原理。以前没看到。

天山草 · 发表于 2013-9-13 09:02

方法很好。

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证明：在任意 9 个相异实数中，必有两数 a,b 满足 0＜(a-b)/(1+ab)＜√2-1