已知 a^3-b^2-c^2+2a+13=0 ，… ，c^3-a^2-b^2+2c+13=0 ，求 a+b+c 和 abc

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

moranhuishou

也来解一个

moranhuishou

清楚一点

luyucheng1

3次方程用卡丹公式很麻烦。本方程实根的近似解是：先判定大致范围，将方程左边的代数式输入EXCEL迭代，很快就可以得到高精度的结果。虚根的实部和虚部利用根与系数关系求得，设实部为m，虚部为n，实根x1，本题二次项系数/三次项系数的相反数为2，因为x1+m+ni+m-ni=x1+2m=2，所以，m=(2-x1)/2 ；又：x1(m+ni)(m-ni)=-13， 所以：n=(-13/x1-m^2)^(1/2) 。
    本题不能简单用根与系数的关系求abc或a+b+c 。

moranhuishou

下面引用由luyucheng1在 2013/09/24 00:18am 发表的内容：
-=-=-=-=- 以下内容由luyucheng1在时添加 -=-=-=-=-
3次方程用卡丹公式很麻烦。本方程实根的近似解是：先判定大致范围，将方程左边的代数式输入EXCEL迭代，很快就可以得到高精度的结果。虚根的实部和虚部利用根　...

也许你的解是对的，但直觉以为，这样的题不会这么繁琐。

luyucheng1

下面引用由moranhuishou在 2013/09/24 09:22am 发表的内容：
也许你的解是对的，但直觉以为，这样的题不会这么繁琐。

    开始我也考虑用根与系数的关系，答案确实很容易，且结果唯一。但此题的根是一个实根和一对共轭虚根，用实根和虚根的任何组合，代入原方程都不能满足，只有用相同根的组合，才能满足原方程。
    谢谢moranhuishou老师对我的帖子的关注！

luyuanhong

谢谢楼上 luyucheng1 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。
下面是我的解答（我猜想原题可能有错，否则答案不会这么复杂）：

luyucheng1

陆老师是正确的，我的答案多出了2个复数，把abc是实数这个条件忘了。