从编号为 1～10 号的卡片中，任意取出 3 张，其中任何两张都不连号，共有几种取法？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

由編號1~10號的卡片中，任意取出3張，且任兩張都不連號，共有_種情形?

不相鄰要用插空隙"的方法，不過為什麼其他7張  要視為相同物呢(以 0 表示 )?

先將剩下七張沒取到的  以 0 0 0 0 0 0 0  表示  有七個空隙   C(8,3)

王守恩

共有21+15+10+6+3+1=56种取法。
3张卡片按从小到大排列，则第1张卡片有1,2,3,4,5,6计6种可能。
第1张卡片是1时：有6+5+4+3+2+1=21
第1张卡片是2时：有5+4+3+2+1=15
第1张卡片是3时：有4+3+2+1=10
第1张卡片是4时：有3+2+1=6
第1张卡片是5时：有2+1=3
第1张卡片是6时：有1=1
注：这些数字在杨辉三角里是很容易找到的。

luyuanhong

谢谢楼上 王守恩 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

下面是我的解答（主要是针对 1 楼的疑惑给予解答）。

题  从编号为 1～10 号的卡片中，任意取出 3 张，其中任何两张都不连号，共有几种取法？

解  这个问题可以变为另一个对应的问题：

    将 10 个一模一样的、没有区别的物体排成一列，在其中指定 3 个互不相邻的物体，有

几种做法？

    为什么说上面这个问题，与题目所给的取有号码的卡片的问题是对应的呢？

    因为在上面这个问题中，虽然物体是一模一样、没有区别、没有编号的，但是它们排成了

一列，位置从 1～10 ，这位置的编号，就对应于卡片的编号 1～10 。在一排 10 个物体中指

定 3 个互不相邻的物体，它们位置的编号必定是不相连的，就相当于取出 3 张不连号的卡片。

   那么，怎样从一排 10 个一模一样、没有区别的物体中，指定 3 个互不相邻的物体呢？

   可以设想先将这 3 个物体取出，剩下 7 个一模一样、没有区别的物体，排成一列。

   在这 7 个物体中的缝隙和排列的两端，共有 8 个空位置，在这 8 个位置中，任意选 3 个

位置，有 C(8,3) 种不同的选法。将事先取出的 3 个物体放入这 3 个位置，它们必定不相邻。

所以，在一排 10 个没有区别的物体中，指定 3 个不相邻的物体，共有 C(8,3) 种做法。

   这也就是说，从编号为 1～10 的卡片中，取出 3 张不连号的卡片，有 C(8,3)=56 种取法。

天山草@

我想到另一个方法：
从 10 张卡片中任意抽取 3 张，没有条件限制，那么共有 C（10, 3）种选择方法，即 120 种方法。在这 120 种方法中，连号的有多少种呢？ 我们假定把 10 张卡片中的相邻两张粘合在一起，共有 1 与 2，2 与 3，……，9 与 10 这 9 种结合法。还剩下 8 张卡片，粘在一起的两张卡片必须先用上，另外再从剩余的 8 张中任取一张，是否共有 9×8=72 种结合方法呢？ 不对！
比如 1 与 2 粘在一起，可再选 3； 而 2 与 3 粘在一起，可再选 1，因此这两种情况是重复的。
那么共有多少种重复情况呢？
1、2+3 与 1+2、3 重复；
2、3+4 与 2+3、4 重复；
3、4+5 与 3+4、5 重复；
4、5+6 与 4+5、6 重复；
5、6+7 与 5+6、7 重复；
6、7+8 与 6+7、8 重复；
7、8+9 与 7+8、9 重复；
8、9+10 与 8+9、10 重复。

共有上面这 8 种重复的情况。因此本题的最终答案是 120 - （72 - 8） = 120 - 64 = 56。

luyuanhong

谢谢楼上 天山草 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。