在 2×n 的方格中，放入黑棋子，棋子不相邻的放法有几种？

ataorj

很有规律,n~只与(n-1)~的系数相关,t=3:
比如:3:2 + 5 t则4:5+(2*5+2)t
0:1
1:t
2:1 + 2t
3:2 + 5 t
4:5 + 12 t
5:12 + 29 t
6:29 + 70 t

ataorj

展开了一层,大家有巧法吗?主要是陆教授答案中有根号,这里看看能否撇开它.或者你认为不可能撇开?
n>1时,主题答案即:
n~=2(n-1)~+(n-2)~,但是这个应该消去递推
下面仅仅展开了一层:
=2^(n-1)*3+[2^1(n-3)~+2^2(n-4)~+...+2^(n-1)1~+2^(n-2)0~]+(n-2)~

ataorj

正耐着性子展开,上边更正:2^(n-3)1~+

ataorj

到达下面两步,实际验证都正确,但是规律变了,截断了,放弃探索.根号并非都"无理",但是这个做无理例子吧...
估计增加展开深度不会改变上述结论.
n~=
+2^(n-1)*3
+2^(n-3)*3
+2^(n-3)*3
+[2^(n-3)+2^(n-5)]*3
+[2^3+2^2](n-5)~
+[2^4+2^3+2^2+1](n-6)~
+[2^5+2^4+2^3+2](n-7)~
+...
+[2^(n-4)+2^(n-5)+2^(n-6)+2^(n-8)]2~
+[2^(n-3)+2^(n-4)+2^(n-5)+2^(n-7)]1~
+[2^(n-2)+2^(n-3)+2^(n-4)+2^(n-6)]0~
------
n~=
+2^(n-1)*3
+2^(n-3)*3
+2^(n-3)*3
+[2^(n-3)+2^(n-5)]*3
+[2^(n-3)+2^(n-4)]*3
+[2^4+2^3+2^2+1](n-6)~
+[2^6+2^2+2](n-7)~
+...
+[2^(n-3)+2^(n-7)+2^(n-8)]2~
+[2^(n-2)+2^(n-6)+2^(n-7)]1~
+[2^(n-1)+2^(n-5)+2^(n-6)]0~

ataorj

应该与二项式定理相关,不过,我上面思路下不知可否达到...

ataorj

a^2=2
r=1;Do[Print[InputForm[ExpandAll[((1+a)^r+(1-a)^r)/2]]];r++,{9}]
1
1+a^2
1+3*a^2
1+6*a^2+a^4
1+10*a^2+5*a^4
1+15*a^2+15*a^4+a^6
1+21*a^2+35*a^4+7*a^6
1+28*a^2+70*a^4+28*a^6+a^8
1+36*a^2+126*a^4+84*a^6+9*a^8
------------
二项式系数,取奇数位次的系数,比如,n=5取1,10,5即可
1,1
1,2,1
1,3,3,1
1,4,6,4,1
1,5,10,10,5,1
1,6,15,20,15,6,1
1,7,21,35,35,21,7,1
1,8,28,56,70,56,28,8,1
1,9,36,84,126,126,84,36,9,1
1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1
1,11,55,165,330,462,462,330,165,55,11,1

luyuanhong

[(1+a)^1+(1-a)^1]/2 = 1
[(1+a)^2+(1-a)^2]/2 = 1+a^2
[(1+a)^3+(1-a)^3]/2 = 1+3*a^2
[(1+a)^4+(1-a)^4]/2 = 1+6*a^2+a^4
[(1+a)^5+(1-a)^5]/2 = 1+10*a^2+5*a^4
[(1+a)^6+(1-a)^6]/2 = 1+15*a^2+15*a^4+a^6
[(1+a)^7+(1-a)^7]/2 = 1+21*a^2+35*a^4+7*a^6
[(1+a)^8+(1-a)^8]/2 = 1+28*a^2+70*a^4+28*a^6+a^8
[(1+a)^9+(1-a)^9]/2 = 1+36*a^2+126*a^4+84*a^6+9*a^8
……

ataorj

相反思维,不受限时总数3^n减去相反情形总数N就是主题答案 3进制数,连续两个1占据两位,记为A,其余位变化是3^(n-2),A有(n-1)个位置可放,共3^(n-2)*(n-1)种变化,其中重复了??? 连续两个2,结果相同,综合后,即N=2*(3^(n-2)*(n-1)-???) ======== ddd=1 For a=0 To 2:If aaa*a=1ebug "第3位数变化数量:"+Str(p):p=0ebug "3位数内数数量:"+Str(m):EndIf For b=0 To 2:If bbb*b=1ebug "第2位数变化数量:"+Str(p):p=0:Debug "2位数内数数量:"+Str(m):bbb=0:aaa=1:EndIf For c=0 To 2:If ccc*c=1:Debug "第1位数变化数量:"+Str(p):p=0:Debug "1位数内数数量:"+Str(m):ccc=0:bbb=1:EndIf For d=0 To 2:If ddd*d=1:Debug "第0位数变化数量:"+Str(p):p=0:Debug "0位数内数数量:"+Str(m):ddd=0:ccc=1:EndIf If (a<>0 And a=b) Or (b<>0 And c=b) Or (c<>0 And c=d) Debug Str(a)+Str(b)+Str(c)+Str(d):m+1:p+1:EndIf dd:Next:cc:Next:bb:Next:Next Debug "第4位数变化数量:"+Str(p) Debug "4位数内数数量:"+Str(m) ========== 第0位数变化数量:0 0位数内数数量:0 第1位数变化数量:0 1位数内数数量:0 0011 0022 第2位数变化数量:2 2位数内数数量:2 0110 0111 0112 0122 0211 0220 0221 0222 第3位数变化数量:8 3位数内数数量:10 1011 1022 1100 1101 1102 1110 1111 1112 1120 1121 1122 1211 1220 1221 1222 2011 2022 2110 2111 2112 2122 2200 2201 2202 2210 2211 2212 2220 2221 2222 第4位数变化数量:30 4位数内数数量:40