证明方程组 xy+yz+zx=10 ，xyz=2+x+y+z ，x+y+z＞0 有且仅有一解

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

ccmmjj

[这个贴子最后由ccmmjj在 2013/10/09 10:45am 第 1 次编辑]

要证明对应方程有三重根吧？

ccmmjj

第一，方程组的（实）解的存在可以用或者可以用多项式（t^3-at^2+10t-(a+2)）实根个数好象是司徒姆的符号判别法给出。
第二，方程组解的唯一性除非方程t^3-at^2+10t-(a+2)=0有三重根.但经过验算这是不可能的。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/10/09 06:13pm 第 1 次编辑]

此题有错，这个方程组无实数解。证明如下：

luyuanhong

我估计，原题中“xy+yz+zx=10”应改为“xy+yz+zx=12”。
这样修改后，原题的结论就能成立了。

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2013/10/09 07:37pm 第 2 次编辑]


如果没有 x + y + z > 0 这个条件限制，方程组有无穷多组实数解。所有的解都在 [-4.5，-0.5459890944706598164900613999] 区间内。就是说，x，y，z 都是负数。
如果题目条件完全不变，则没有实数解，而不是只有唯一的一组解。
总之，这个题目出得有误。
[br][br][color=#990000]-=-=-=-=- 以下内容由 天山草 在 时添加 -=-=-=-=-
发此回复之前，没有看到陆教授已给出了解答。

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2013/10/09 07:44pm 第 3 次编辑]


如果要改正原题中的毛病，也可以这样改：
把 x + y + z > 0 改为 x + y + z < 0，并且把“方程组仅有一解”改为“方程组仅有一组有理数解”（不考虑字母的轮换）。
此时，这个唯一解是 -1，-1，-4.5。
若是解的范围扩大到实数，则实数解有无穷多。