袋中有 3 红 5 黑 2 白球，逐一取球，全部取完的次序为红、黑、白的情形有几种？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

3紅5黑2白球 逐一取球 每次一球  紅球先取完 黑球次之 白球最後取完 情形有?

若三紅球皆相異 5黑球皆相異 兩白球皆相異  紅球先取完 黑球次之 白球最後取完 情形有?

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题  袋中有 3 红 5 黑 2 白球，逐一取球，全部取完的次序为红、黑、白的情形有几种？

解  要区分两种不同的情况，即：“认为同色球是无区别的”和“认为同色球是有区别的”。

    先考虑“认为同色球是无区别的”的情况。

    将取出的球按照取出的次序排成一列，这相当于在 10 个位置中，先选择 3 个位置放

红球，有 C(10,3) 种做法；再在剩下的 7 个位置中，选 5 个位置放黑球，有 C(7,5) 种

做法；剩下的 2 个位置，自然放白球。所以总共有 C(10,3)C(7,5)=120×21=2520 种做法。

    在过去发表过的另一个帖子中，已经求出：全部取完的次序为红、黑、白的概率为 1/8 。

所以，在全部 2520 种做法中，全部取完的次序为红、黑、白的情形有 2520×1/8=315 种。

    下面考虑“认为同色球是有区别的”的情况。

    因为 3 个红球是有区别的，所以在按取出次序排成的一列中选定 3 个红球位置后，3 个

红球在这 3 个位置上还可以有 3! 种不同的排列，所以情形数还要乘以 3! 。

    因为 5 个黑球是有区别的，所以在按取出次序排成的一列中选定 5 个黑球位置后，5 个

黑球在这 5 个位置上还可以有 5! 种不同的排列，所以情形数还要乘以 5! 。

    因为 2 个白球是有区别的，所以在按取出次序排成的一列中选定 2 个白球位置后，2 个

白球在这 2 个位置上还可以有 2! 种不同的排列，所以情形数还要乘以 2! 。

    所以，在“认为同色球是有区别的”的情况下，总的情形数为

         2520×3!×5!×2! = 2520×6×120×2 = 3628800 。

    在“认为同色球是有区别的”的情况下，全部取完的次序为红、黑、白的情形数为

         315×3!×5!×2! = 315×6×120×2 = 453600 。

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