已知 x,y 为正整数，求方程 x^2+y^2=208(x-y) 的解 (x,y)

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

任在深

解：
   由题意知：
           X-Y=208              (1)
    所以   X=Y+208              (2)
    把(2)代入原式：
          (Y+208)²+Y²=208²      (3)
   即     Y²+416Y+208²+Y²-208²=0
          2Y²+416Y=0
          Y(2Y+416)=0          (4)
  因此    Y=0
          X=208.
   

fungarwai

x²+y²=208(x-y)
(x-104)²+(y+104)²=2(104²)
a=x-104,b=y+104
a,b=±136,±104,±56
y=32;x=58,160
(x,y)=(48,32),(160,32)

luyuanhong

谢谢楼上 fungarwai 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

luyucheng1

关于数据分解，要有依据进行；计算机只能作为验证手段。

luyuanhong

谢谢楼上 luyucheng1 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

guanchunhe

求不定方程x^2+y^2=208(x-y)的正整数解
解： 因为当a为奇数时，a^2≡1（mod  8），所以可推得(x,y)=16。
于是可设x=16m,y=16n，则原方程化为
m^2+n^2=13(m-n)   （1）
再令m-n=k，则方程（1）又化为
2n^2+2kn+(k^2-13k)=0   （2）
n=(-k±√(k(26-k)))/2
此时，若要满足n为正整数，首先要满足k(26-k)≥0且为平方数。
于是可解得k=0,1,8,13,18,25,26。其中能够满足n为正整数只有k=1和k=8。
当k=1时，解得n=2和m=3。于是解得原方程的正整数解 （x=48，y=32)。
当k=8时，解得n=2和m=10。于是解得原方程的正整数解 （x=160，y=32)。
所以，原方程只有这两个正整数解。