人们研究赫渥特图和埃雷拉图的历程

雷明85639720

人们研究赫渥特图和埃雷拉图的历程
雷  明
（二○一九年八月二十七日）

1、赫渥特图的研究历程：
赫渥特图（H—图）如图1。其中b、r、g、y四种是颜色，相当于我们经常使用的A、B、C、D。

1、1  该图1890年由赫渥特（Percy John Heawood）构造出来，指出了坎泊的证明中存在着漏洞，但他不能对其进行4—着色。
1、2  1896年de la Vallee-Poussin也独立的发现了坎泊的这一错误。
1、3  直到1972年Saaty也还给出了与赫渥特图同样的图。
但他们也都没有把坎泊的漏洞弥补起来。
1、4  1992年雷明与董德周分别都对赫渥特图进行了4—着色。其原理是因为图中存在一条环形的C—D链（g—y链），交换C—D环形链内、外的任一条A—B链，都可以使连通且交叉的A—C链和A—D链断开，使图变成可约的K—构形。雷明把这种方法叫做“断链交换法”。
1、5  1992年英国的米勒也对赫渥特图进行了4—着色，其方法是从与待着色顶点相邻的一个B色顶点开始进行转型交换，使图变成一个可以连续的移去两个同色的可约的K—构形。
1、6  1992年许寿椿等也用电子计算机对赫渥特裸图直接进行了4—着色。
1、7  后来还有刘福和张彧典等分别也用雷明的方法和米勒的方法对赫渥特图在原着色的基础上进行了4—着色。
从雷明与米勒分别对赫渥特图的两种不同着色方法上看，二者都对H—构形的分类创造了条件。
雷明方法中看到了在赫渥特图中，有经过了构形围栏顶点的C—D环形链，交换其内、外的任一条A—B链就可使图变成K—构形而可约。当然，在H—构形的图中也就可以存在经过了构形围栏顶点的A—B环形链，交换其内、外的任一条C—D链也就可以使图变成K—构形而可约。为把H—构形分为含有经过构形围栏顶点的环形链的构形和不含有经过构形围栏顶点的环形链的构形打下了基础。
米勒方法采用了转型交换的方法，使赫渥特图变成了可以连续的移去两个同色的K—构形而可约。这就为把H—构形按连续转型的次数多少分为无穷循环转型也空不出颜色的构形和有限次转型交换就可空出颜色的构形打下了基础。也为确定连续转型“有限次”交换的最大交换次数的“上界”打下了基础。为最终解决四色问题创造了条件。
2、埃雷拉图的研究历程：
埃雷拉（Errera）图（E—图）如图2所示。
2、1  该图1921年由埃雷拉（A•Errera）构造出来，但没有进行4—着色。
2、2  1935年，Kittell对E—图进行了研究，交换环形的A—B链内、外的C—D链，都可以使图变成K—构形而可约。

2、3  1980年，Hamish Carr and William Kocay（哈米什•卡尔和威廉•考凯）在《一种试探式的平面图四染色》中把Errera构形称之为CK图，发现对E—图采用转型交换法时，是一个无穷的循环，永远也空不出颜色的构形，但却没有能解决问题。
2、4  1992年，米勒也研究过E—图，同样是采用转型交换法，出现了无穷循环，空不出颜色，也未能解决问题。
2、5  1992年，敢峰先生在未看到过E—图的情况下，采用演绎法构造了埃雷拉图。并且发现图中存在着A—B环形链，交换其内、外的任一条C—D链都可使图变成K—构形而可约。
2、6  2010年，张彧典也对E—图进行了研究，同样也是采用交换被分隔在A—B环形链外侧的C—D链，使图变成K—构形而可约。
2、7  2010年后，雷明先生认为E—图也是含有经过构形围栏顶点的环形链的构形，也可以用“断链交换法”进行解决。
张彧典按转型交换是否循环把H—构形分为E—图类构形和非E—图类构形（Z—构形）两大类；雷明按是否存在环形链把H—构形分为有环形链的构形和无环形链的构形两大类。两种不的分类方法都包括了平面图的所有构形。
雷明认为E—图是属于有环形链的构形，采用断链交换法解决；张先生认为E—图属于E—图类构形，用他的Z—换色程序解决。而Z—换色程序与断链交换法的实质是相同的，是同一回事。雷明对所有的有环形链的构形都用断链交换法解决，对所有的无环形链的构形都用转型交换法解决；张先生对除E—图类构形以外的所有非E—图类构形（Z—构形）也都用转型交换法解决。这类Z—构形中也有一部分是有环形链的构形，也是可以用Z—换色程序解决的；只有一部分是无环形链的构形，与雷明的无环形链的构形都是可以用转型交换法进行解决的。
3、目前雷明与张彧典还存在的分岐：
现在的问题是两人对有无或证明不证明转型交换“有限次”的上界问题还存在着分岐。雷明认为，按E—图类构形转型交换是以20次转型为周期的循环，而非E—图类构形则施行两个方向的转型时，都应必须在第20次转型前（包括第20次）转化成可以连续的移去两个同色的K—构形，从而证明得到转型交换的次数一定是不大于42次的。张先生则认为只要有“有限的”三个字就行了，不需要有一个“上界”值的问题，而看不到这“有限的”三字是人为说出，并非证明得到的。所以他只从E—图改变了一些四边形的对角线而得到的64个非E—图类构形转型交换得到的最大的交换次数是16，就认为任何非E—图类构形最大的转型交换次数也是16的结论。实际上雷明先生已构造了几个转型交换次数大于20次的构形，张先生也认为这几个构形的确是要经过交换20次以上才能空出颜色的。但又硬要坚持他的最大交换次数是16的不符合实际的错误观点。

雷  明
二○一九年八月二十七日于长安

注：此文已于二○一九年八月二十七日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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