高中遗留问题：根据行星沿椭圆轨道绕日运动的规律，推导万有引力公式

doletotodole

楼主很厉害啊, 数学家都是这样出来的.

你可以看看当年牛顿发表的名著, 也就是数学历史上仅次于几何原本的 principia 里面应该有推导过程, 也可以看到历史上第一次应用微积分的实例.

永远

luyuanhong 发表于 2019-9-1 15:44
下面是我过去在《数学中国》发表过的帖子，可供参考：

请问陆老师行星向径扫过的时间 \(\Large t\) 改成下面这样可以吗？

由于\(t = ks\left( \theta  \right) = k\frac{{{{\left( {1 + \varepsilon } \right)}^2}}}{2}\int_0^\theta  {\frac{1}{{{{\left( {1 + \varepsilon \cos \theta} \right)}^2}}}} d\theta \)

当\(\theta  = 2\pi \)时\(t = T\)

且\(\frac{{{{\left( {1 + \varepsilon } \right)}^2}}}{2}\int_0^{2\pi } {\frac{1}{{{{\left( {1 + \varepsilon \cos \theta} \right)}^2}}}} d\theta  = \pi ab\)

因此有：\(T = k\pi ab\)

从而有：\(k = \frac{T}{{\pi ab}}\)

\(\Large{t = \frac{{T{{\left( {1 + \varepsilon } \right)}^2}}}{{2\pi ab}}\int_0^\theta  {\frac{1}{{{{\left( {1 + \varepsilon \cos \theta} \right)}^2}}}} d\theta }\)

\(\Large T\)为行星绕日运行一周的周期


另外行星运行的速度也没算出来，只给出分速度。

simpley

万有引力还须用到开普敦第三定律。单就一个固定椭圆来讲，我们可以证明它的引力是常数。换一个椭圆，当然也是常数。但不能证明这两个常数相等。所以还要证明行星轨道周期的平方与其轨道半长轴的立方成正比，再证明这些常数都相等。

simpley

在椭圆轨迹中，引力公式是
F=h^2*(a/b^2）/r^2，r是物体距中心的长度。h是物体在单位时间扫过的面积，是个常数。a,b是长短轴。
可知万有引力常数G=h^2*(a/b^2）
因为h=s(椭圆面积）/T(运动周期）
(πab)^2/T^2*a/b^2=π^2*a^3/T^2=G
所以。a^3t和T^2成反比。

永远

luyuanhong 发表于 2019-9-1 15:44
下面是我过去在《数学中国》发表过的帖子，可供参考：

陆老师好请看6楼，行星绕日运动到任一点的线速度是不是等于这个\(\Large{v = \frac{{{{(1 + \varepsilon )}^{\frac{3}{2}}}}}{\lambda }\sqrt {\varepsilon  - 1 + \frac{2}{r}} }\)

如果是，为啥线速度求导后得到的加速度不等于这个：\(\Large a = \frac{{{{(1 + \varepsilon )}^3}}}{{{\lambda ^2}{r^2}}}\)

下面是我按照6楼陆老师贴子思路走分析行星绕日运动行星运行到任一点的线速度，不知道分析的对不对？

另外6楼贴子中的比例系数\(\Large k\)具体等于啥？与引力常数有啥关系？

还有22楼也帮忙看看？

永远

luyuanhong 发表于 2019-9-1 15:56
第 6 楼中的推导，得出两条结论：

（1）加速度的大小，与距离 r 的平方成反比。（2）加速度的方向，是从 ...

求助于陆老师，可否看看22楼和25楼，