最简单的四色猜测证明方法

雷明85639720

最简单的四色猜测证明方法
雷  明
（二○一九年九月八日）

    赫渥特指出的坎泊对四色猜测的证明中的漏洞如图1所示，图中不但有两条连通的相邻链（两链有共同的一种颜色）A—C和A—D，而且两链还是相交叉的（我们叫它H—构形）。而泊证明中A—C链和A—D链，却是不相交叉的（如图2）。在证明四色猜测的过程中，只要能把图1中的两条链变成不连通或不相交叉的，使图变成坎泊证明过的K—构形，就是可4—着色的了。


H—构形从图的几何结构上可分为有经过围栏顶点的环形链的构形（如图3图4）和无经过围栏顶点的环形链的构形（如图5和图6）两类。
有环形链的一类，因为环形链把与环本身相反的色链分隔成了环内、环外互不连通的两部分，交换了环内、环外的任一部分相反链，都可以使图中原来连通且相交叉的A—C链和A—D链断开或不相交叉，使图变成K—构形而可4—着色。这种方法我们叫做“断链交换法”。

无环形链的一类，不可能采用断链交换法，而只能采用转型交换法了。转多少次型，交换多少次，才能进行4—着色，这是研究四色问题的一个重要问题。

1921年Errera（埃雷拉）构造了Errera图（如图7），这个图因为有经过围栏顶点的环形的A—B链，所以是可4—着色的。但对该图进行对角链的转型交换时，却是以每20次转型为周期而无穷循环的，永远也空不出颜色给待着色顶点。这样我们就可以从理论上把H—构形分为无穷循环转型的构形和非无穷循环转型（即有限转型）的构形。那么，非无穷循环转型的构形的转型一定是有限的。
E—图无论是逆时针还是顺时针转型，其周期都是20，那么在一逆一顺的两个周期内的两个第20次转型（包括两个第20次转型）之内，一共有41个无穷循环转型的构形（如图8）。对应的处在这41个位置上的任何一个非无穷循环转型的构形，无论是向那个方向的转型，则必须在第40次转型前（包括第40次）转化成可以连续的移去两个同色的K—构形，否则，就是无穷循环转型的构形了。然后再进行两次关于空出颜色的交换，即可空出一种颜色来给待着色顶点，4—着色成功。总的交换次数都是不大于42的，所以非无穷循环转型的构形的最大转型次数是40，最大交换次数是42。

这说证明了任意一个H—构形都是可4—着色的，加上坎泊已证明了是可4—着色的K—构形，平面图的所有不可避免的构形都是可4—着色的了。这也就证明了四色猜测是正确的。

雷  明
二○一九年九月八日于长安

注：此文已于二一九年九月八日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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