孪生素数猜想的初等证明

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孪生素数猜想的初等证明
　　　　　　　　　　　　―――齐宸
关键字：合数公式、筛法、等差数列、倍增规律、孪生素数猜想、断点。
本文通过对合数研究，从而找出合数、素数的出现规律。独创合数公式，并揭示出合数、素数的等差数列本质。合数、素数既然和等差数列有了联系，就一定遵循一些等差数列具有的规律：倍增规律。合数公式、合数公式筛法、等差数列倍增规律是前人没有发现的规律，而它们正是解开孪生素数猜想的三把钥匙。
       这是一篇运用小学和中学知识证明孪生素数猜想的论文，没有高深莫测的数论证明。中学文化水平的人群，一点即透。
正文
一、合数公式
（一）、奇数的分类：
    下面将奇数数字按个位数划分为1，3，7，9四类，具体如下：
    第一类：   11，21，31，41，51，61，71，81，91，101......
    第二类：3，13，23，33，43，53，63，73，83，93，103......
    第三类：7，17，27，37，47，57，67，77，87，97，107......
第四类：9，19，29，39，49，59，69，79，89，99，109......
这四类数字包含了自然数中所有除去１和２、5及其倍数以外的所有合数与素数。以第二类为例：可以看到这组数字包括了所有个位是3的奇数，既有合数也有素数。
（二）、乘法口诀，（２、5的倍数除外）
     1 * 1 = 1        
     1 * 3 = 3        3 * 3 = 9
     1 * 7 = 7        3 * 7 = 21      7 * 7 = 49
     1 * 9 = 9        3 * 9 = 27      7 * 9 =6 3      9 * 9 =81
     这10组口诀组成了所有两个数字相乘结果的个位为1，3，7，9的组合。比如要想使任意两个数字相乘结果的个位为3，则这两个数字的个位应分别是1、3或是7、9。除去这两组外，不可能成立。这样我们可以归纳出全部相乘结果个位是1、3、7、9的10组组合：
相乘结果个位为1： 1、1     3、7       9、9  
相乘结果个位为3： 1、3    7、9
    相乘结果个位为7： 1、7    3、9      
    相乘结果个位为9： 1、9    3、3       7、7
（三）、合数公式：
结合乘法口诀，两数相乘结果个位为3的数字只能是如下两组格式：
第一组（10i+3）和（10k+1）
第二组（10i+7）和（10k+9）
证明：自然数（10i+3）与自然数（10k+1）相乘
       (10i+3)(10K+1)     其中i>=0;k>=1
      =100ik+30k+10i+3
      =10(10i+3k)+10i+3
      去掉个位后得到公式：(10i+3k)+i  其中i>=0;k>=1
      同样可以证明剩余的9组合数公式（均去掉了个位），汇总如下：
   第一类：个位为1：(10i+1)k+i;  (10i+3)k+7i+2;   (10i+9)k+9i+8  
   第二类：个位为3：(10i+3)k+i;  (10i+7)k+9i+6
   第三类：个位为7：(10i+7)k+i;  (10i+3)k+9i+2
   第四类：个位为9：(10i+9)k+i;  (10i+3)k+3i;     (10i+7)k+7i+4
对应上述四类十组公式分别命名为：
第一类个位为1的：11组、12组、13组
第二类个位为3的：31组、32组
第三类个位为7的：71组、72组
第四类个位为9的：91组、92组、93组
因去掉了个位，这时的孪生素数、三胞胎素数、四胞胎素数实际上只是一个数字。如四胞胎素数11、13、17、19去掉个位后分别是：1、1、1、1。也可以说“1”就是一个四胞胎素数。
二、新筛法：合数公式筛法
数列（含个位）:
    03，13，23，33，43，53，63，73，83，93，103.....N
去掉个位3后,形成新的数列:
    0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.....n（这是个含0的自然数序列）
    理论上划掉按照合数公式（不含个位）计算出的数字后剩余的数字全部是个位为3的素数。也是全体个位为3的素数集合。下面各列是通过31组和32组两组合数公式展开得到的个位为3的全体合数（下面31组、32组合数公式各列出了两行）
    31组   3k+0：数列 3； 6； 9；12；15；------
    31组  13k+1：数列14；27；40；53；66；------
     31组   ………………………………………………
     32组    7k-1：数列  6；13；20；27；34；------
     32组   17k-2：数列15；32；49；66；83；------
     32组    ………………………………………………
     这样在  0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.....n划掉合数后得到以下结果：
0,  1,  2,   3,  4,  5,  6,  7,  8,  9 ,10, 11, 12, 13, 14, 15…...n
     其中  3等的数字表示被合数公式31组筛掉的数字，13等的数字表示被合数公式32组划掉的数字，有的被两组同时划掉，如6, 15分别被31组合数公式和32组合数公式同时划掉，剩余的为素数。这样剩余的数字加上个位后03,13,23,43,53,73,83,93,103,113等均是素数。
    若同时加入第一、第二两类的11、12、13、31、32五组合数公式可筛选个位分别是1、3的1-3型素数对。此合数公式及相关筛法在证明孪生素数时将发挥重要作用。
三、素数的本质
（一）新本质
通过合数公式可以看到素数的另一面本质：等差数列，通过分析合数公式以及上面筛数的结果1,  2,   3, 4, 5,  6, 7, 8,  9 ,10, 11, 12,这几个数字，可以隐约的看到等差数列的影子。合数实质上是若干等差数列合并后的各项，而素数实质上是若干等差数列合并后的断点。即仍不在合并后数列中的数字。“断点”在以后也会经常提到，素数一定是断点，而断点不一定是素数（只有考虑了某数字之下的全部合数公式后，断点才是素数），素数必然在断点中产生。合数、素数既然和等差数列有了联系，就一定遵循一些等差数列具有的规律，研究素数也就可以通过研究等差数列来展开。比如下面的等差数列断点倍增规律。
（二）、等差数列断点倍增规律：
等差数列在两个方面均存在倍增规律，比如下面这个等差数列：
3、13、23、33、43、53、63、73、83、这是个标准的等差数列，其倍增规律从两个方面论述
第一规律，自3开始到43共包含5个数列项36个断点。倍增后到第9项83，自43到83共包含5个数列项36个断点。数列项和断点数是不会超过数列前半部分5个数列项和36个断点的一倍。这是等差数列倍增规律的第一个重要结论。
第二规律，自3 和自43开始的各项位置是重复的，断点位置也是重复的，与前半部分是一模一样的。这是等差数列倍增规律的第二个重要结论。
等差数列倍增规律就是说等差数列增加一倍则等差数列中的各项及断点数亦增加一倍。同时增加部分的数列项及断点位置分布与未增加前的部分具有相似性。而素数就是由若干等差数列合并后形成的，因此也应遵守该规律。或者说，在较大的任意数N内含有a个素数，则在2N内应含有不超过2a个素数。因倍增后，要有新的合数公式加入筛法中划掉倍增部分的新断点，故在2N内素数要少于2a个素数。又因为在新增的合数公式中由素数组成的有效合数公式越来越少，随着数字N的增加，在2N内的素数将逐渐接近2a。
倍增第一规律与合数公式结合可说明素数个数增长规律；倍增第二规律与合数公式结合可说明素数分布规律。这两个规律是在证明孪生素数时将起重要的作用。
四、孪生素数、三胞胎素数、四胞胎素数无限的证明
上面前三点是个重要的工具，下面是本文最重要的地方。也是人们苦苦寻觅的答案：证明部分。
同时考虑11组、12组、13组、31组、32组便可证明个位为1和3的孪生素数无限
证明：
假设N1、N3为最大的一对个位分别为1和3的孪生素数，并设在N1、N3之内有a对个位分别为1和3的孪生素数。若去掉个位后，则N1、N3这一对假设中的最大的个位分别为1和3的孪生素数实际上可以用一个数字N来表示。
因为个位分别为1和3的孪生素数也是等差数列组组成，其出现规律将遵循等差数列的一些规律。
根据等差数列倍增规律中的第一规律，在N-2N之间必有大致a对个位分别为1和3的孪生素数。而且根据等差数列倍增规律中的第二规律，在N-2N之间的素数分布位置与N之内的素数分布位置具有一定的重复性(或者说在N之内某些素数形成一定间距，在N-2N之间将会重复)。因在2N之内由合数公式组成的各个等差数列不如一个等差数列那样规则，故在N-2N之间的孪生素数对个数将大致等于a，其分布位置也只是有一部分重复。这样在N-2N之间的不但存在个位分别为1和3的孪生素数。而且其个数与N之内的个位分别为1和3的孪生素数大致相同，则前面假设N为最大的个位分别为1和3的孪生素数的后面还有比N更大的孪生素数，则假设不成立。
证毕。
这样归纳在一起后可以证明如下7个结论：
1、同时考虑11组、12组、13组合数公式可证明个位为1的素数无限。
2、同时考虑31组、32组合数公式可证明个位为3的素数无限。
3、同时考虑71组、72组合数公式可证明个位为7的素数无限。
4、同时考虑91组、92组、93组合数公式可证明个位为9的素数无限。
5、同时考虑11组、12组、13组、31组、32组便可证明个位为1和3的孪生素数无限
6、同时考虑11组、12组、13组、31组、32组、71组、72组便可证明三胞胎素数无限
7、同时考虑全部10组合数公式便可证明四胞胎素数无限
证毕。
2013年11月6日