[趣题分享] 求序列 {a(n)} 的通项，其中 a(1)=2,a(n+1)=a(n)/2 + 1/a(n)

elimqiu · 发表于 2013-12-8 04:18

[这个贴子最后由elimqiu在 2013/12/08 08:08am 第 1 次编辑]

求序列 {a(n)} 的通项公式，其中 a(1)=2,a(n+1)=a(n)/2 + 1/a(n)

概率考 · 发表于 2013-12-8 13:02

标准的不动点法

drc2000 · 发表于 2013-12-8 13:06

[这个贴子最后由drc2000在 2013/12/08 01:22pm 第 1 次编辑]

下面引用由elimqiu在 2013/12/07 09:18pm 发表的内容：
求序列 {a(n)} 的通项公式，其中 a(1)=1,a(n+1)=a(n)/2 + 1/a(n)

令x=x/2+1/x，得两不动点：x1=√2，x2=-√2
设一新数列:bn=(an+√2)/(an-√2),
做若干繁复的运算,可知这一新数列满足:bn+1=(bn)^2,
其通项是易求得bn=(b1)^(2^n)
(其中b1由a1确定)
根据bn=(b1)^(2^n)及bn=(an+√2)/(an-√2),
反过来,可求出an的通项公式

elimqiu · 发表于 2013-12-8 15:03

[这个贴子最后由elimqiu在 2013/12/09 09:16pm 第 3 次编辑]

对不起概率考， drc2000 二位，题目中 a(1) 应是 2.

注记：这个求法很特别，需要熟悉双曲余切的‘倍角公式’。
这样的 closed formula,或称初等函数通项公式也许在分析上有好处，但所论
序列的每一项都是有理数，用这种通项公式并不能得到各项的分子分母的通项。
所以从数论的角度看，这个问题其实更难些。
有些序列，例如斐波那契序列，对很多应用而言，递归公式是最有效的。

elimqiu · 发表于 2013-12-8 23:30

下面引用由elimqiu在 2013/12/08 08:03am 发表的内容：
对不起概率考， drc2000 二位，题目中 a(1) 应是 2.

发现初始值是1或2不影响以后各项的值。所以对初始值 a(1) = 1,
上面的通项公式只需略作修订即可。

luyuanhong · 发表于 2013-12-8 23:57

本帖最后由 luyuanhong 于 2014-11-2 07:55 编辑

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

elimqiu · 发表于 2013-12-9 02:08

谢谢陆老师的分享。看来可以对这类递归关系作一个一般的解决。

概率考 · 发表于 2013-12-9 10:32

这个drc200的方法显然是正确无误的，这种不动点法是基础

elimqiu · 发表于 2013-12-10 02:23

下面引用由概率考在 2013/12/09 10:32am 发表的内容：
这个drc200的方法显然是正确无误的，这种不动点法是基础

谢谢 drc2000 和概率考二位。解得很妙：

欢迎二位介绍一般的【不动点法】。

wangyangke · 发表于 2014-11-2 05:30

因为有elim 在，数学理论没有被曹俊云老先生改掉，，，elim功德无量，，，

		自动登录	找回密码
密码			注册

[趣题分享] 求序列 {a(n)} 的通项，其中 a(1)=2,a(n+1)=a(n)/2 + 1/a(n)