疑问正说明积分公式 ∫dx/[(acosx)^2+(bsinx)^2]=arctan(btanx/a)/(ab)+C 是有缺点的

永远

陆老师下午好，请看红线部分。请问在[0,2π]内arctan(√3tan2π）为什么等于2π而不是0或π呢

永远

在[0,2π]内arctan(√3tan2π）=arctan0=0吗，看楼上的图像，0、π、2π都是0点啊，又或者arctan(√3tan2π）=π可以吗

luyuanhong

你的疑问，正说明了积分公式 ∫dx/[(acosx)^2+(bsinx)^2]=arctan(btanx/a)/(ab)+C 其实是有缺点的。

我发现，在外面能找到的各种数学书中，对于这种积分，给出的都是上面这样的（或类似这样的）公式。

但是，将这不定积分公式用于计算定积分时，就会产生像你在本帖子中说到的那样的问题。

正是为了克服这一缺点，我经过反复研究，才推出了另一个公式：

∫dx/[(acosx)^2+(bsinx)^2]={x-arctan[(a-b)sin2x/((a+b)+(a-b)cos2x)]}/(ab)+C  。

用我这个公式计算定积分，就不会发生那些问题了。

永远

luyuanhong 发表于 2019-10-10 18:34
你的疑问，正说明了积分公式 ∫dx/[(acosx)^2+(bsinx)^2]=arctan(btanx/a)/(ab)+C 其实是有缺点的。

我 ...

谢谢陆老师的指导，解释了事物本质所在。确实能找到的书，如同济的、中科大史济怀的…… 都是我那个普通结果

为了严谨性的需要，听陆老师这么一说我感觉国内的高数教材可以作小小改动

永远

如果这是考试答题，我该答那个呢，还是两个都对，还是随便写一个都对？？？？求解

另外我觉得：在[0,2π]内arctan(√3tan2π）=arctan0=0这个结果太意外且尴尬，它不是我们真正想要的这个结果：在[0,2π]内arctan(√3tan2π）=2π

因此常见的那个积分等式有瑕疵，或者说就是个错的。国内高数书要不要作相应的修改。