Tn 是直线 y=-x/n+n 及 x 轴、y 轴围成的区域（包括边界），求 Tn 上的格子点数目 an

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請問幾何

luyuanhong

题  Tn 是直线 y=-x/n+n 及 x 轴、y 轴围成的区域（包括边界），求 Tn 上的格子点数目 an 。

解  直线 y=-x/n+n 与 y 轴交于 (0,n) 点，与 x 轴交于 (n^2,0) 点。Tn 是一个三角形区域。

    在区域 Tn 中，格子点的 y 坐标，从最高点的 y=n ，逐步减小，直到 y=0 。

    当格子点的 y 坐标为 n-k（k=0,1,…,n）时，用 y=n-k 代入 y=-x/n+n 可解得 x=nk ，可见

这时 x 坐标的最小值为 x=0 ，x 坐标的最大值为 x=nk ，共有 nk+1 个格子点。

    所以，在区域 Tn 中，格子点的总数为

       an = ∑(k=0,n)(nk+1) = n×∑(k=0,n)k + ∑(k=0,n)1

         = n×n(n+1)/2 + (n+1) = (n^2+2)(n+1)/2 。