如何对染色困局进行分类

雷明85639720

如何对染色困局进行分类
雷  明
（二○一九年十月二十日）

这里的“染色困局”是指坎泊证明中所遗漏了的含有双环交叉链的构形。不同的人，分析问题的角度和方法不同，就有不同的分类原则和标准，也都有各自的解决（4—着色）办法。唯一的标准就是类别最少为好。现就敢峰雷明和张彧典的分类和解决办法论述如下。
1、敢峰先生的分类和解决办法
敢峰先生从对他所构造的终极图的解决中，得到在终极图的转型过程中所得到的任何一个图中都含有经过了构形围栏顶点的环形链，而在未形成终极图之前的图中却都不含有经过构形围栏顶点的环形链的特点，把构形分为有环形链的构形和无环形链的构形两大类。有环形链的构形解决时，是交换环形链内外的任一条与环形链呈相反色链的相反链，就可以使构形转化为坎泊已证明过是可4—着色的坎泊构形；无环形链的构形解决时，只能用转型交换法了。
事实上，任何无环形链的构形都可以在有限的40次转型和42次交换之内解决问题，但敢峰先生的证明中却缺少证明这一点。要明白，不证明有限的转型和交换的上界，就等于转型交换是没有界的，是无穷的，是不能解决四色问题的。
2、雷明先生的分类和解决办法
雷明先生一开始就根据图中是否是含有经过构形围栏顶点的环形链，也把构形直接分成了有环形链的构形和无环形链的构形两大类。解决有环形链的构形时，与敢峰先生的方法是相同的（雷明先生叫做断链交换法，因为这样的交换后，构形中的双环交叉链就成了不连通的链了，断开了）；解决无环形链的构形时，也用的是转型交换法。
但雷明先生根据敢峰先生的终构图的无穷周期限循环转型的循环周期是20的特点，却证明了无环形链的构形的转型次数是一定有限的，其上界是40次转型或42次交换，这就保证了任何一个无环形链的构形都一定是可4—着色的，也就保证了四色猜测是可以证明的，且是正确的。
3、张彧典先生的分类和解决办法
张彧典先生也是根据敢峰的终极图的转型交换是无穷周期循环这一特征，把构形分成了无穷周期循环转型的构形（即张先生说的十折对称构形）和有限转型的构形（也即张先生说的非十折对称构形）。解决无穷周期循环转型的构形时，用的方法与敢峰、雷明二人的方法也是相同的（张先生叫做Z—换色程序）；解决有限转型的构形时，也用的是转型交换法（张先生叫做赫渥特颠倒或H—换色程序）。张先生认为下结论时，只要说明这种转型交换的次数是“有限的”就可以了，不要再证明其上界限了，这是不对的。最近张先生已给出了一个转型次数是40次的界限，但还没有进行证明。
4、总结
三个人的对构形的分类角度虽不同，但其解决各类构形的办法却都是相同的，没有离开雷明的断链法和转型交换法。解决敢峰的终极图所用的方法都是断链交换法，解决敢峰的终极图以外的有经过构形围栏顶点的环形链的构形的方法也都是断链交换法，解决敢峰的终极图以外的没有经过构形的围栏顶点的环形链的构形的方法也都是转型交换法。这样以来，我们可以把构形分为三大类，一类是敢峰的终极图类，一类是有环形链类，一类是无环形链类，共三类。前两类都用断链交换法，后一类用转型交换法。由于敢峰的终极图已是属于有环形链的构形一类，所以说，最终还是有环形链的构形和无环形链的构形两大类。分别解决的办法即是断链交换法和转型交换法。
但必须记住，一定要对转型交换的次数证明一个上界限，否则证明就是不彻底的。

雷  明
二○一九年十月二十日于长安

注：此文已于二○一九年十月二十日在《中国博士网》上发表过，网址是：