[讨论]复数的本质

风花飘飘

ataorj

@飘飘:
cos弧度A
=(-1)^(A/π)的实部
=(-1)^(-A/π)的实部
sin弧度A
=(-1)^(A/π-0.5)的实部
=(-1)^(0.5-A/π)的实部
以上A为实数,从前面的旋转理论很容易理解.
A为复数的情形我就不懂了.

ataorj

@飘飘:
两个公式:
-1=e^(iπ)[注:我现在不知道其原理],也即i=e^(0.5iπ)
sin弧度A=0.5((-1)^(A/π)-(-1)^(-A/π))/i
=0.5((-1)^(A/π-0.5)-(-1)^(-A/π-0.5))

不考虑是否允许问题,A先简单换为iA:
sin(iA)=0.5((-1)^(iA/π-0.5)-(-1)^(-iA/π-0.5))
=0.5(e^(-A-0.5iπ)-e^(A-0.5iπ))
=0.5(e^(-A)-e^A)/e^(0.5iπ)
=0.5(e^(-A)-e^A)/i
=0.5(e^A-e^(-A))*i

注:Mathematica验证以上,结果正确,并有:
sin(iA)=i*sinh(A)

风花飘飘

sinh (x) = -i * sin(i * x)

百度了一下是这样，双曲函数与三角函数关系 ：
sin(iA)=i*sinh(A)