[分享]一个定积分的计算

elimqiu

http://mathchina.elinkage.net/cgi-bin/topic.cgi?forum=1&topic=360&start=0#1

掬一捧月光

掬一捧月光

下面这题是我以前做过的一个题目，也比较好玩，把它贴在这里分享下

掬一捧月光

[这个贴子最后由掬一捧月光在 2014/01/29 11:02am 第 3 次编辑]

elimqiu

这个结果也可以轻易推出楼上的推广（两个积分之差）

掬一捧月光

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2014/02/01 02:05pm 第 2 次编辑]

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：
YAG 问：為什麼可以這麼做?

elimqiu

http://zh.wikipedia.org/wiki/勒贝格控制收敛定理
取 a 使 x > x+a > -1
令 f(t,n) = n(t^{x+ a/n}-t^x)/(a ln t) , 则 |f(t,n)| < t^{x+a},  
f(t,n) →(d/dx)((t^x-1)/(ln t)) = t^x (n→∞)
运用控制收敛定理，(d/dx)F(x) = ∫(d/dx)((t^x-1)/(ln t))dt = ∫t^x dt
一般控制收敛定理的严格证明是实变函数论的内容。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2014/02/02 03:31pm 第 2 次编辑]

elimqiu

对x>0，无须控制收敛定理即可证明这个积分号下求导的可交换性。对 0＞x＞-1，失去了连续性，但8楼使用控制收敛的方法仍有效。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
5楼是用最简单的方法证明了这个特殊情况下微分积分次序交换的合法性。