由平行公理所推导出来的欧氏几何内部的重大矛盾

一线天

建立一个平面直角座标系，Ｘ轴为横座标，Ｙ轴为纵座标，Ｘ轴与Ｙ轴交于原点Ｏ，在Ｙ轴原点Ｏ的上方确定一点Ａ，过Ａ点做一条与Ｘ轴平行的直线．设这条直线为直线Ｌ．
然后，再以Ｏ点为起点在座标系的第一象限处引出来一条射线，此射线必与直线Ｌ相交．
可以这样设想：先让此射线沿逆时针方向旋转，当射线与Ｙ轴完全重合时，射线与Ｘ轴的角度为９０度．
然后，再将此射线沿顺时针方向旋转，则此射线必一一经过直线Ｌ的正半区间内的所有点，而且此射线与Ｘ轴的夹角的角度越小，此射线与直线Ｌ的交点的距离越远，当射线与Ｘ轴的夹角为无穷小时，射线与直线Ｌ的交点的距离为无穷远．
当此射线与Ｘ轴的夹角的角度为０度的时候，则此射线与Ｘ轴完全重合，则与直线Ｌ平行，根据欧氏几何平行公理，两条平行线永无交点，说明此射线与直线Ｌ已无交点．
由此引出来一个疑问：射线在沿顺时针方向旋转的时候，必一一经过直线Ｌ上的所有点，当此射线与Ｘ轴重合，与直线Ｌ平行，无交点的时候，射线是否已经过了直线Ｌ的正半区间内的所有点？即：射线是否会经过直线Ｌ的最后一个点？
　假设直线Ｌ上不存在最后一个点，则射线无论如何旋转，都始终与直线Ｌ有交点，则此射线永远也不能与直线Ｌ平行．
　但假如直线Ｌ上存在最后的一个点，则又说明直线Ｌ的长度是有限的，不能够无限延长．
由此说明欧氏几何的平行公理中存在着极为重大的矛盾:要么就是直线L的长度是有限的,不能无限延长,要么就是直线L最终与X轴相交.
关于这个问题,还可以举一个比较形象的比喻:
在直线L的A点处有一只蚂蚁,它延着直线L的正半区间向前走,永不停息的走下去,问这只蚂蚁能不能走出直线L去?(走到直线L之外去)
按照欧氏几何的观点,直线是可以无限延长的,永无止界,所以这只蚂蚁是永远(请注意"永远"两个字)也走不出直线L去的.
但是如果按照在本文中所做的假设,这只蚂蚁却是可以最终走出直线L之外去的:假设这只蚂蚁就在射线与直线L的交点处,当沿顺时针方向旋转射线的时候,这只蚂蚁就始终尾随着射线与直线L的交点后向前走,可以想象:当射线旋转至与X轴的夹角为0度角,即与X轴完全重合的时候,这只蚂蚁也就从直线L上走到了X轴上.
或者也可以这么假设:在直线Ｌ的Ａ点上有一个小铁环，先假设让这个小铁环在直线Ｌ的正半区间滑过，问这个小铁环最终能脱离直线Ｌ吗？
　　按照欧氏几何的观点来说，因为直线是无限延长的，所以这个小铁环永远也脱离不了直线Ｌ．
　　但是按照在本文中所做的假设，小铁环却是可以最终脱离直线Ｌ的：假设小铁环在射线与直线Ｌ的交点的前面，当射线沿着顺时针方向旋转的时候，射线推动着小铁环向前滑动，当射线与Ｘ轴的夹角为０度角的时候，射线最终将小铁环"扫出"直线Ｌ之外去．
　　因此说：直线Ｌ是有极限的，不能无限延长．

wlc王礼昌

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