设 ω=cos(2πi/7)+isin(2πi/7) ，求 1/(1-ω)+1/(1-ω^2)+…+1/(1-ω^6)

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

kanyikan

由条件知w^7=1,所以
原式=1/(1-w)+1/(1-w^6)+1/(1-w^2)+1/(1-w^5)+1/(1-w^3)+1/(1-w^4)
    =1/(w^7-w)+1/(1-w^6)+1/(w^7-w^2)+1/(1-w^5)+1/(w^7-w^3)+1/(1-w^4)
    =(1-w)/(w(w^6-1))+(1-w^2)/(w^2(w^5-1))+(1-w^3)/(w^3(w^4-1))
    =(1-w)/(1-w)+(1-w^2)/(1-w^2)+(1-w^3)/(1-w^3)
    =3

luyuanhong

谢谢楼上 kanyikan 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。