数列 {X(n)} 满足 X(n+1)=[(n+2)/n]X(n)+1/n ，X(1)=0 ，求 X(n) 的通项公式

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2014/03/12 07:32pm 第 1 次编辑]

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

X(n+1)=[(n+2)/n]X(n)+(1/n), X(1)=0; 求 X(n)

drc2000

帖子标题题目和YAG题目不一致：
X(n+1)=[(n+2)/ 2 ]X(n)+1/n ，X(1)=0 ，求 X(n)
X(n+1)=[(n+2)/ n ]X(n)+(1/n), X(1)=0; 求 X(n)

luyuanhong

谢谢楼上 drc2000 指出，现已将标题改正。
下面是我对此题的解答：

luyuanhong

台湾网友 YAG 看了以上解答后，问：

請問陸老師，解答中剛開始的 Xn=(n+2)(n-1)/4  是怎麼得到的?
下面是我的回答：

用初始条件和递推公式，可以求得数列前几项的数值和一阶差分、二阶差分如下：
0    1    2.5   4.5    7    10   13.5  17.5   22   27  ……
  1    1.5    2    2.5    3    3.5    4    4.5    5  ……
    0.5   0.5   0.5   0.5   0.5   0.5   0.5   0.5  ……
因为二阶差分为常数，所以通项公式必为 n 的二次函数，形为 Xn = an^2+bn+c ,
再用 X1,X2,X3 的数据代入，解联立方程组，可以求得 a=1/4 ，b=1/4 ，c=-1/2 ，
这样就得到了 Xn=(n+2)(n-1)/4 。