已知 f(x) 是连续函数，在 (x-1,x) 上的积分等于 x^2 ，求 f(x)

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

luyucheng1

掬一捧月光

下面引用由luyucheng1在 2014/03/15 05:29pm 发表的内容：

这样做不严谨吧？最起码要证明是多项式函数，应该严格地解迭代方程：f(x)-f(x-1)=2x[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 掬一捧月光 在 时添加 -=-=-=-=-
在连续的条件下解函数方程

luyucheng1

谢谢掬一捧月光先生的提示。
数学上正常设定对应的函数关系作为解题方法。本题上下限变量和积分结果为多项式，显然原函数也为多项式。用相同的幂次代数式解题是恰当的。当然原函数也可以考虑更高次代数式，这样会使解题更加复杂，也没有必要。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2014/03/15 09:14pm 第 2 次编辑]

谢谢楼上 luyucheng1 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。
    本题中只是说“f(x) 是连续函数”，没有说“f(x) 是多项式函数”，所以，
本题其实还可以有无数多个其他的解：

luyuanhong

下面是台湾网友 YAG 看了楼上解答后的疑问：

請問陸老師:以下解法，哪一步用到 f(x) 是多項式的條件?如果沒有，此解答是否間接證明
f(x) 是多項式?但是，陸老師您有給出反例? 蠻奇怪的。