证明直线上的点与平面上的点可以建立一一对应关系

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2014/03/28 06:56pm 第 2 次编辑]

elim

[这个贴子最后由elim在 2014/03/29 03:23pm 第 1 次编辑]

谢谢陆老师的分享。
一谈到无穷，我们就失去了经验的支撑。无穷是概念的存在。顾名思义，无穷就是有穷的反面。
显然，通常的计数（数算）对无穷是无可奈何的。说任何无穷都是变数，都不是‘完成’东西是没有什么说服力的。例如[0,1]区间的实数全体，单位圆周上的点的全体等等，都是确定的无穷集合，它们不是什么还在增长中的东西，你对它们的认识可以在增长中，但它们本身是确定的。
虽然对无穷集合无法按通常的计数取定其元素的多少，但可以比较两个无穷集合元素的多少。具体说来就是：
对二集合 A, B,
(1) 如果存在 A, B 之间的 1-1 对应，则称它们的元素一样多，
(2) 如果存在 A 到 B 的子集的 1-1 对应， 但不存在 B 到 A 的子集的 1-1 对应， 则称 A 的元素少于 B 的元素， 或称 B 的元素多于 A 的元素。
(3) 如果存在 B 到 A 的子集的 1-1 对应， 但不存在 A 到 B 的子集的 1-1 对应， 则称 B 的元素少于 A 的元素，或称 A 的元素多于 B 的元素。
这样的规定有两方面的挑战：
（1）是否任意两个集合一定可以这么比较？换句话说，如果不存在 A 到 B 的子集的1-1对应，是否一定存在 B 到 A 的子集的 1-1 对应？ 如果接受选择公理，那么回答是肯定的。
(2) A 的元素多于 B 的元素和 A 的元素不多于 B 的元素是否会同时发生？ 换句话说，集合元素的大小比较是否满足三歧性？ 康托-伯恩斯坦定理对此作了回答：集合基数(元素的大小）满足三歧性。不会出现 A 的元素多于 B 的元素和 A 的元素不多于 B 的元素同时发生的情况。
这样，集合元素多少的比较问题就有了理论上完满的解决。
注记：无穷集合与有限集合有一个本质的不同，就是前者总可以与其真子集 1-1 对应。 所以仅仅因为R与R^2 的真子集 E = {(x, 0) | x∈R} 1-1 对应还不能断定 R 的元素少于 R^2 的元素。 必须给出不存在 R^2 到 E (或其子集)的 ，1-1 对应才行。主楼指出这种映射存在, 推翻了基于感觉的 “R^2 的元素比R的元素多无穷倍”的论断。

luyuanhong

谢谢楼上 elim 参与讨论。
下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

在 Cantor 的集合论中，提出这样的定义：

对于两个点集 A 与 B ，如果可以找到一种方法，使得 A 中的点与 B 中的点，
建立一一对应，就认为点集 A 与 B 的势相等，或者说，A 与 B 有相同的基数。

    许多人常常把“A 与 B 的势相等”、“A 与 B 有相同的基数”说成是
“A 与 B 有相同的点数”、“A 与 B 中点数一样多”。
    其实，这种说法，从严格的数学来看，是非常不规范的，是容易引起误会的。
    Cantor 的定义，其实只是一种点集的分类方法。
    按照这种定义，“数轴上全体整数点的集合”“数轴上全体偶数点的集合”
“数轴上全体奇数点的集合”“数轴上全体有理数点的集合”都属于同一类，它们
的基数都是“ℵ₀（阿列夫0）”。
    属于同一类的点集，基数相同，但并不意味着“点数一样多”。明明偶数只是
整数中的一部分，怎么会偶数点集合中的点数与整数点集合中的点数“一样多”呢？
明明整数只是有理数中的一部分，怎么会整数点集合中的点数与有理数点集合中的
点数“一样多”呢？
    同样，按照 Cantor 定义，“一条线段上全体点的集合”“一条直线上全体点的
集合”“一个正方形内全体点的集合”“一个圆内全体点的集合”“一个平面上全体点
的集合”“一个球内全体点的集合”也都属于同一类，它们的基数都是“א（阿列夫）”。
    这些点集，虽然属于同一类，但并不意味着“点数一样多”，明明线段只是直线
中的一部分，怎么会线段上的点数与直线上的点数“一样多”呢？明明正方形只是平
面中的一部分，怎么会正方形内的点数与平面上的点数“一样多”呢？
    所以，把两个集合“有相同的基数”，说成是“点数一样多”，其实是不正确的，
至少是不规范的，很容易引起误会，我们最好不要这样说，更不应该按照这种说法去
作推理、证明。

任在深

教授和老师讨论的很好！值得学习！
请问您！
        1.一个有圆心的圆上有几个点？
        2.一个正方形上有几个点？
        3.一个三角形上有几个点？
        4.一条直线或线段上有几个点？
                                          谢谢！

elim

下面引用由luyuanhong在 2014/03/29 05:15pm 发表的内容： 谢谢楼上 elim 参与讨论。 下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子： 在 Cantor 的集合论中，提出这样的定义：对于两个点集 A 与 B ，如果可以找到一种方法，使得 A 中的点与 B 中的点， 建立一一对应，就　...

关于一般集合的点数或其多少的问题, 可以有俩种处理方式。或者否定一般意义上的集合的点数概念, 或者把点数等同于基数。 把无穷集合的点数定义为其基数，不会有逻辑上的不妥。实际上基数就是有限集的点数的根念的推广或一般化。集合间的1-1对应关系是集合全体上的一个等价关系．因此就对集合全体作了分类．每个类中的集合彼此皆能1-1对应，不同类的集合彼此必不能1-1对应. 把这种类叫作基数，则基数全体形成一个全序集．即任意二基数A, B可比较大小，且AB 有且仅有其一成立。称集合S的基数为0, 如果它是空集∅．称其基数为1, 如果它与集合{∅}在同一个(等价)类中，即它与{∅}能建立1-1对应．基数为n的集合是与{0, 1, ... , n-1}对等(即1-1对应)的集合。可見对有限集，点数和基数是一致的。对无穷集合，情况的确不直观, 例如偶数全体与整数全体基数相同就不易被接受, 明明前者是后者的一半，怎么说基数一样呢? 持这种疑问的人是不按照基数的定义使用基数的概念，并且潜意识中还认为如果二集合有包含关系且基数相等, 就只能相等。其实这个认识仅仅对有限集才是正确的．如果始终将集合的个数与集合的基数视为同一, 认识到个数相同，具有包含关系的集合一般地未必就是同一个集合, 就不会有什么弊端. 在这个问题上，所有的困扰都来自对有限的直觉的执着. 例如在基数的算术中, 有 X < 2^X 对一切基数成立，X = n X = X^n = X^X 对一切无穷基数成立, 特别是后者，引起许多质疑. 但这是超穷数理论中的一个已被证明的结果．