将 S={1,2,…,200} 中凡是可被 2、3、5 整除的数依次乘以 -1 ，求三次修改后数字

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

設S={1,2,3…,200} 將S中凡是可以被2整除的數字乘上 (-1),
接著凡事可3整除的數字乘上 (-1), 最後凡事可被 5 整除的數字乘上 (-1),
經過 3 次修改後.S 中所有數字的總和是多少?

fungarwai

|k-2k-3k-5k|=|k-2k-3k|-|5k-10k-15k|=|k-2k|-|3k-6k|-|5k-10k|+|15k-30k|
=|k|-|2k|-|3k|-|5k|+|6k|+|10k|+|15k|-|30k|
|2k-3k-5k|=|2k-3k|-|10k-15k|=|2k|-|6k|-|10k|+|30k|
|3k-2k-5k|=|3k|-|6k|-|15k|+|30k|
|5k-2k-3k|=|5k|-|10k|-|15k|+|30k|
|6k-5k|=|6k|-|30k|
|10k-3k|=|10k|-|30k|
|15k-2k|=|15k|-|30k|
|k-2k-3k-5k|-(|2k-3k-5k|+|3k-2k-5k|+|5k-2k-3k|)+(|6k-5k|+|10k-3k|+|15k-2k|)-|30k|
=|k|-|2k|-|3k|-|5k|+|6k|+|10k|+|15k|-|30k|
-(|2k|+|3k|+|5k|-2|6k|-2|10k|-2|15k|+3|30k|)
+(|6k|+|10k|+|15k|-3|30k|)-|30k|
=|k|-2(|2k|+|3k|+|5k|)+4(|6k|+|10k|+|15k|)-8|30k|
=20100-2(20833)+4(6831)-8(630)
=718

fungarwai

写成这样就可以套进容斥原理

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2014/03/29 09:14pm 第 4 次编辑]

谢谢楼上 fungarwai 的解答。
下面是我的解答（实际上与楼上解答是一样的）：