求使得 n! 的最后 90 位全是 0 的最小正整数 n

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

使得 n!(階層)的最後90位數全是0的最小正整數n是多少?
(例如 5!最後只有1位數字是0)

ans: 370

ataorj

舍尾计算,假设[n/5]=90,n';=450,则n<=450<625;假设n"=125,则[n/5]+[n/25]+[n/125]=31<90,可见n>125.则有: [n/5]+[n/25]+[n/125]=90 fungarwai曾经提供了取整运算的思维方法,取整与舍尾略为不同,下面研究舍尾计算的转换 设[x]=u,则x=u+k,显然,u为整数,k和u正负性相同,k的绝对值<1 [n/5]+[n/25]+[n/125]=90 1>a,b,c>=0 [n/5]+[n/25]+[n/125] =n/5-a+n/25-b+n/125-c =n/5+n/25+n/125-a-b-c =90 n/5+n/25+n/125=90+(a+b+c) 31n=125(90+(a+b+c)) 31是质数,11250+125(a+b+c)是31的倍数; 0<=(a+b+c)<3 0<=125(a+b+c)<375 11250<=31n<11625 363<=n<375 363至374中关心365和370即可,答案是二中择一.试验: 1) 365 [n/5]+[n/25]+[n/125]=73+14+2=89 2) 370 [n/5]+[n/25]+[n/125]=74+14+2=90 答案:370

luyuanhong

谢谢楼上 ataorj 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

掬一捧月光

luyuanhong

谢谢楼上 掬一捧月光 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。