在 ΔABC 中，BC=a ,CA=b ，AB=c 成等差数列，求 tan(A/2)tan(C/2)

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

kanyikan

设三角形外接圆半径为R，面积为S，则
R^2=(abc)^2/(4S)^2=(abc)^2/((a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c))=(abc)^2/((3b)(-a+b+c)(b)(a+b-c))=(ac)^2/(3(-a+b+c)(a+b-c))
tan(A/2)tan(C/2)=sin(A/2)sin(C/2)/(cos(A/2)cos(C/2))
=(sin(A/2)sin(C/2))^2/(sin(A/2)sin(C/2)cos(A/2)cos(C/2))
=(1-cos(A))(1-cos(C))/(sin(A)sin(C))
=(1-(b^2+c^2-a^2)/(2bc))(1-(a^2+b^2-c^2)/(2ab))/((a/(2R))(c/(2R)))
=R^2(a+b-c)(a-b+c)(a-b+c)(-a+b+c)/(abc)^2
=R^2(a+b-c)(b)(b)(-a+b+c)/(abc)^2
=R^2(a+b-c)(-a+b+c)/(ac)^2
=1/3

luyucheng1

luyuanhong

谢谢楼上 kanyikan、luyucheng1 的解答。我已将此两帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。