问题求助

wenfengbx · 发表于 2006-11-21 15:03

[这个贴子最后由wenfengbx在 2006/11/26 04:39am 第 4 次编辑]

一个固定大小的正方形，把其内部完全均分成大小相等的正方形网格。在其中三个网
格里放进黑点，使三个点构成一个三
网格分得数目越多（每个网络越小）随机产生的三角型的期望面积大还是网
格数目分得越少，三角形的期望面积大。

坏人 · 发表于 2006-11-22 12:10

请问黑点有多大，你要把它们放在想对于任正方形的什么地方？
也许，你是想说，例如，规定把三黑点放在离大正方形左上角最近的三个小正方形里，且放到小正方形的中心。
那么，你说的有道理。
那就很明显知道该三角形边长在变小，得证。
我想严谨的证明在这里似乎很难运用。[USECHGFONTE]

luyuanhong · 发表于 2006-11-22 23:47

这个问题的答案与三角形顶点位置取法有关，我的解答如下：

wenfengbx · 发表于 2006-11-23 02:16

假设黑点可以随机分布放在任何一个小正方型的中心，黑点大小忽略不计

wenfengbx · 发表于 2006-11-23 03:48

多谢楼上的我用了一些具体值代入，你的第三种情况下的计算是正确。第二种情况，就是点放在中心的情况有问题。原因估计是你的求和式中n的初始值不对，当顶点取在中央时，n的初始值并不是一个格子的长度，是0.5个。
你的方法很好，哈哈，我学到很多

luyuanhong · 发表于 2006-11-23 18:28

我的求和公式没有错。只要改变一下坐标系原点的位置，不管哪一种情形，每次求和总是可以从 1/n 开始，不用从 0.5/n 开始，你看下图就明白了：

luyuanhong · 发表于 2006-11-23 21:11

[这个贴子最后由luyuanhong在 2006/11/24 10:17pm 第 1 次编辑]

求三角形面积的期望值，需要6重求和，和式的表达式很难写出。如果我们把问题简化一下，从二维降低到一维，改为求线段长度的期望值，就可以得到很漂亮的结果：

luyuanhong · 发表于 2010-6-24 23:27

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，与这个问题有些关系：

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