谁给介绍一下超越数啊

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2006/11/26 11:18am 第 1 次编辑]

关于这个问题，要分成几个层次来说：
（1）一个数能不能用尺规作图作出，充分必要条件是：这个数能不能用有限多次加减乘除和开平方运算得出。这个结论，是大家早就知道的，也是比较容易证明的。
（2）1801年，高斯（Gauss）证明了：方程 x^n-1=0 的根，当且仅当 n=p*2^k（ 其中 p=3,5,17,257,65537,… 是形状为 2^(2^h)+1 的素数）时，才能用有限多次加减乘除和开平方运算得出。因此，圆的 n 等分，也只有当 n=2^k*p（ 其中 p=3,5,17,257,65537,… 是形状为2^(2^h)+1的素数）时，才能用尺规作图作出。n=9 不满足这一条件，所以，“九等分圆”是不能用尺规作图作出。
（3）1831年，伽罗瓦（Galois）提出了“伽罗瓦理论”，对于一般的 n 次代数方程的根，哪些可以用有限多次加减乘除和开平方运算得出，哪些不能用有限多次加减乘除和开平方运算得出，给出了判别条件。上面高斯得到的结果，可以看作是伽罗瓦理论中的一个特例。
（4）1837年，万切尔（Wantzel）发表了一篇文章，证明了一般的三等分角的问题，根据伽罗瓦理论，是不能用尺规作图作出的（除非这个要三等分的角是特殊角，如 90°角）。
（5）现在网上有人对万切尔的文章提出异议，我还没有看到，所以不好说什么，不过我想，数学家用严密的推导证明得出的结论，恐怕不是那么容易被人推翻的。

wangyangkee

俞家，哈，是否以羞耻为荣？

wanwna

下面引用由天山草在 2006/11/25 10:09pm 发表的内容：
请问 sin20°是超越数吗？ 超越数可以尺规作图做出来吗？例如已知单位“1”的长度，能够做出 sin20°的长度吗？

在初始已知的只有整数的情况下，超越数用尺规无法作。
当然不是超越数
x^18=1中取两个根X1 cos20°+isin20°与X2 cos20°-isin20°，这两个自然都是代数数
sin20°=(X1-X2)/2i
自然也是代数数

wanwna

下面引用由luyuanhong在 2006/11/26 11:17am 发表的内容：
关于这个问题，要分成几个层次来说：
（1）一个数能不能用尺规作图作出，充分必要条件是：这个数能不能用有限多次加减乘除和开平方运算得出。这个结论，是大家早就知道的，也是比较容易证明的。
（2）1801年，高斯（Gauss）证明了：方程 x^n-1=0 的根，当且仅当 n=p*2^k（ 其中 p=3,5,17,257,65537,… 是形状为 2^(2^h)+1 的素数）时，才能用有限多次加减乘除和开平方运算得出。因此，圆的 n 等分，也只有当 n=2^k*p（ 其中 p=3,5,17,257,65537,… 是形状为2^(2^h)+1的素数）时，才能用尺规作图作出。n=9 不满足这一条件，所以，“九等分圆”是不能用尺规作图作出。

陆老师，第二个命题有点问题
应为
n=2^k*p1*..pm(p1...pm是互异的Fermat质数，也就是2^(2^h)+1型质数)
比如15边形也是可作的，也就是24度角是可作的。
通过五边形，我们可以做出72度角，于是可以做出18度角，于是可以做出12度角。

luyuanhong

下面引用由wanwna在 2010/08/09 00:47am 发表的内容：
陆老师，第二个命题有点问题
应为
n=2^k*p1*..pm(p1...pm是互异的Fermat质数，也就是2^(2^h)+1型质数)
比如15边形也是可作的，也就是24度角是可作的。
...

非常感谢 wanwna 向我指出！我在过去那个帖子中的说法，确实疏忽了。
应该像 wanwna 所指出的那样，改正为：

（2）1801年，高斯（Gauss）证明了：方程 x^n-1=0 的根，当且仅当 n=p1×p2×…×pm×2^k
（ 其中 p1,p2,…,pm 是形状为 2^(2^h)+1 的互不相同的素数，如 3,5,17,257,65537,…）时，
才能用有限多次加减乘除和开平方运算得出。因此，圆的 n 等分，也只有当  n=p1×p2×…×pm×2^k
（ 其中 p1,p2,…,pm 是形状为 2^(2^h)+1 的互不相同的素数，如 3,5,17,257,65537,…）时，
才能用尺规作图作出。n=9 不满足这一条件，所以，“九等分圆”是不能用尺规作图作出。

熊一兵

超越数有何实际应用？

申一言

  “超越数”？
   那里来的超越数？
   在纯粹数学中“数”是空间形的量-------单位！
   因此所谓“数”必然是空间的某个形的体现！
   1.点：无大小，无形状，因此是0单位！
   2.线段：其最基本的形在基本单位圆中： √n=1，√2，√3，，，是基本单位！
   3.面积：**************************： （√n）ˇ2=n",1",2",3",,,是单位！
   4.π=3+√2/10,是半圆，（曲线），，，，，，，，，，，，，，是二次域单位！
   5.e～E=2√2，是当R=√2n,n=2时，2倍的内接正方形的边长，是基本单位的倍数！
  “超越数”明明是某些人的个人规定？不合理！！
  “无理数”显然就更不合理了！
   难道基本单位圆的内接正方形的边长√n都是无理数了？
   “无理数”，“超越数”该从历史舞台上滚下去了！
   还纯粹数学一个清洁美丽的真实面目的时候到了！