哥德巴哈猜想研究之二

小草

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         哥德巴哈猜想研究之二
        广义模剩余
           m=Πp
            p是所有不大于pn的素数
           被筛同余式pi+aij
           i=1,2,3,...,n
           j=≤pi-1
        定义M(m,pi+aij)为广义模剩余。
        广义模剩余的元素个数是：
              n
              Πpi+bi                                           (1)
             i=1                              
        当pi≤x^0.5,1≤bi≤2,ai1=0,ai2=aij,0≤aij≤pi-1时就是哥德巴哈素数模剩余。其元素个数是：
            (p1-1)(p2-b2)(p3-b3)...(pn-bn)                        (2)
        当pi≤x^0.5,b1=1,bi=2,ai1=0,ai2=pi-2时就是孪生素数模剩余。其元素个数是：
            (p1-1)(p2-2)(p3-2)...(pn-2)                           (3)
        当pi≤x^0.5,b1=1,bi=2,ai1=0,ai2=pi-k时就是k生素数模剩余。其元素个数是：
            (p1-1)(p2-2)(p3-2)...(pn-2)                           (4)
        命广义模剩余的元素为：
        M(m,pi+aij)=w1,w2,w3,...,wt
                      n
                   t= Πpi-bi
                     i=1
                                定理一
         广义模剩余的元素个数只与pi的同余个数有关而与pi的同余形式无关。命同余不同而个数相同的两个哥德巴哈模剩余的数且k0=k,则wk0并不一定等于wk..
         证：
         因为广义模剩余中的pi的同余形式为：
              ai1,ai2,ai3,...,aij
         将它改为
              bi1,bi2,bi3,...,bij
          其元素个数为pi-j不变。但x=wk0,x却并不一定是一个哥德巴哈素数模剩余中的数。所以wk0就不一定等于wk..
      
         证毕。
                   定理二
         命x=wk则不大于x的数中一定存在M(m,pi+aij)中的k个元素。
          证：
         这是显然的。
         证毕。
                   定理三
         任意写出一个同余一定存在广义模剩余M(m,pi+aij).
          证：
         因为广义模剩余本身就是按照这个定义建立的。
          证毕。
                   定理四
         命m2=Πp
             p是不大于pn+1的所有素数
           m1=Πp
             p是不大于pn的所有素数
         则广义模剩余
           M(m2,pi+aij)>M(m1,pi+aij)
         证:
        因为M(m1,pi+aij)中的元素个数是:
                 Πpi-bi,而
            M(m2,pi+aij)中的元素个数是:
                 (pn+1)-bn+1Πpi-bi
         证毕.
                   定理五
        定义广义模剩余M(m,pi+aij)中取不大于wk=x的所有元素为M(x)称为该模的残模。
        命m2=Πp
            p为不大于pn+1的所有素数
            m1=Πp
              p为不大于pn的所有素数
        命M(m2,pi+aij)中的残模为M(x).
        命M(m1,pi+aij)中的残模为M(x0),则有x>x0
           M(x)≥M(x0)
         证:
        因为M(m2,pi+aij)>M(m1,pi+aij)
               x>x0
        我们只要取x0=wk,x=wk+1
        就有M(x)-M(x0)=1
           M(x)>M(x0)
        证毕.  
          作者施承忠