证明：若一条直线能将一个矩形等分为面积相同的两块，则此直线必定通过此矩形的中心

luyuanhong

王守恩

谢谢陆老师！可以这样说吗？
若一条直线能将一个四边形等分为面积相同的两块，则此直线必定通过此四边形的重心。

luyuanhong

王守恩 发表于 2019-12-9 11:34
谢谢陆老师！可以这样说吗？
若一条直线能将一个四边形等分为面积相同的两块，则此直线必定通过此四边形的 ...

这个结论不成立，下面举一个比较极端的反例：

设四边形一条边无限缩短，另三条边长度相等，这样一个四边形退化成了一个等边三角形。

等边三角形的重心当然就是它的中心。过重心做一条底边的平行线，将三角形分成上下两部分。

上面一部分是一个小等边三角形，它的高度是大等边三角形高度的 2/3 。

由于相似三角形面积之比等于对应高度之比的平方，所以小三角形与大三角形面积之比为 （2/3)^2=4/9 。

由于 4/9＜1/2 ，所以过重心平行于底边的直线并不能将三角形分成面积相等的两部分。