[求助]一个不定积分的计算？

James007

[这个贴子最后由James007在 2007/01/08 10:52am 第 2 次编辑]


在工程上碰到这样一个积分，积了半天不出来：
∫[x/(1+x^2)]^1/2*dx=???
注：x>0
^2、^1/2是平方和平方根的意思。
哪位大侠能帮我计算一下这个积分？谢谢！
一些可能有用的积分公式：
∫x*dx/(ax^2+b)=(1/2a)*ln│ax^2+b│
∫dx/(x^2+a^2)^1/2=arsh(x/a)=ln[x+(x^2+a^2)^1/2]
∫x*dx/(x^2+a^2)^1/2=(x^2+a^2)^1/2
试过用换元法、分部积分法等等，却越搞越复杂......
例如，利用(secθ)^2=1+(tanθ)^2换元x=tanθ，最后还是得出一个带根式的若干次方的三角函数，不知怎样解？

James007

那么多号称解了哥猜的高人，就没一个能指点一下的吗？
55555555............

James007

咳，名不符实的数学论坛和数学才子......

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/04/08 00:09am 第 1 次编辑]

这样的不定积分看来是无法积出的，但可以考虑用幂级数展开。

James007

非常感谢！解释得很清楚！
另有一个小问题，刚才在百度吧有人如此解答：
--------------------------------------------
回复：求助：一个不定积分怎样解？  
由于被积函数是无理函数，所以其原函数不是初等函数。该不定积分的计算结果为：
∫[x/(1+x^2)]^1/2*dx=(3/44)*x^(11/2)-(1/7)*x^(7/2)+(2/3)*x^(5/2)+O(x^7)+C
式中O(x^7)为截断误差。  

  
作者： 125.58.147.*  2007-1-10 15:54 　 回复此发言   
------------------------------------------
1.他是不是算错了？
2.他说被积函数是无理函数，所以原函数不是初等函数。那么x^1/2、1/(x^1/2)、1/[(1+x)^1/2]等是否无理函数？如是，为什么它们那么容易积出？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/04/08 00:11am 第 2 次编辑]

（1）他得到的结果没有错，他的结果就是我给出的幂级数的前4项。
（2）有理函数一定能够积出，有理函数的原函数是初等函数。但是，这句话不能反过来说，不能说无理函数一定不能积出，不能说无理函数的原函数一定不是初等函数。

James007

再请问陆兄：我这个积分式其实是在求双曲线xy=a上线段长度时，通过变量代换得到的，将(1+x^2)^1/2置于下方，是看到这样的积分公式较多，以为容易积。
那么，是否有直接的双曲线长度公式可以代用（标准方程也可）？我在网上找不到这种公式，才想自己积。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/04/08 00:10am 第 1 次编辑]

    我只知道，椭圆上一段弧的长度，是不可能用一个解析公式求出来的，只能用数值方法求近似值。所以，我估计，双曲线上一段弧的长度，也是不可能用一个解析公式求出来的，也只能用数值方法求近似值。
    你用数值方法求双曲线上一段弧的长度时，为了简单一些，可以不必作变量代换，直接用原来的积分式，作数值积分（例如可用Simpson公式），或者像我前面解答中那样，将被积式展开成幂级数后作积分，取前面若干项，求近似值。