[求助]一个关于映射的证明题

mrzhangis

重新拾起高等数学课本，　可惜备受打击，一开始就不会了．　题目是同济版数学教材上的习题．　如下：
设映射 f: X->Y, A包含于X, B包含于X, 证明：
(1) f(A 并 B) =f (A) 并 f(B)
(2) f(A交B)=f(A) 交 f(B)

谢谢各位了!

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/11/05 00:06pm 第 3 次编辑]

网友“考研2013”指出得很对，楼主给出的命题 f(A∩B)=f(A)∩f(B) 其实是不成立的。
例如 设 f(x)=|x| ，A={0,1} ，B={0,-1} 。
这时 f(A)={0,1} ，f(B)={0,1} , f(A)∩f(B)={0,1} 。
     A∩B={0} ，f(A∩B)={0}≠{0,1}=f(A)∩f(B) 。
所以，只能证明（1）f(A∪B)=f(A)∪f(B) 。（2）f(A∩B)⊂f(A)∩f(B) 。
可见，我原来给出的证明有问题，现改正如下：

mrzhangis

太感谢2楼的了， 谢谢你的解答， 它对我非常有用！[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 mrzhangis 在 时添加 -=-=-=-=-
不过刚仔细看了一下定义，只证明f(x)属于f(AUB), 并且f(x)属于f(A)Uf(B)， 并不能证明他们两个相等， 只能证明f(AUB)包含于f(A)Uf(B)。 还必须用集合相等的定义来证明， f(A)Uf(B)包含于f(AUB)。 这样两个集合才相等。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/05/11 00:07pm 第 1 次编辑]

楼主在3楼中所提的意见很正确，我对原来的证明作了补充，请看上面2搂。

考研2013

1（1）倒数第四行 为什么由x属于AUB 就可以推出（所以……后面的结论）， 开头设的f(x)∈f(A)Uf(B),到后面的f(x)∈f(AUB),这两项怎么得出f(A)Uf(B)包含于f(AUB），而不是f(AUB)包含于f(A)Uf(B)    好像判断不出谁的范围更大，怎么知道谁包含于谁     
      想了很久这个牛角问题，跪求指点……[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 考研2013 在 时添加 -=-=-=-=-
（2）好像不能相等  如果f(x)=/x/,A（0,1） B（0，-1),就不成立  可是如果不举这个特例，只是证明，要怎么发现

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/11/05 00:05pm 第 1 次编辑]

下面引用由考研2013在 2011/11/04 11:05pm 发表的内容：
1（1）倒数第四行 为什么由x属于AUB 就可以推出（所以……后面的结论）， 开头设的f(x)∈f(A)Uf(B),到后面的f(x)∈f(AUB),这两项怎么得出f(A)Uf(B)包含于f(AUB），而不是f(AUB)包含于f(A)Uf(B)    (B)    好像判断不出谁的范围更大，怎么知道谁包含于谁     
     想了很久这个牛角问题，跪求指点……
-=-=-=-=- 以下内容由 考研2013 在 时添加 -=-=-=-=-
（2）好像不能相等  如果f(x)=/x/,A（0,1） B（0，-1),就不成立  可是如果不举这个特例，只是证明，要怎么发现

一般来说，如果从 x∈A 可以推出 x∈B ，就知道必有 A⊂B 。
所以，如果从 y∈f(A)∪f(B) 可以推出 y∈f(A∪B) ，就知道必有 f(A)∪f(B)⊂f(A∪B) 。
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网友“考研2013”指出得很对，f(A∩B)=f(A)∩f(B) 确实是不成立的。
例如 设 f(x)=|x| ，A={0,1} ，B={0,-1} 。
这时 f(A)={0,1} ，f(B)={0,1} , f(A)∩f(B)={0,1} 。
     A∩B={0} ，f(A∩B)={0}≠{0,1}=f(A)∩f(B) 。
所以，只能证明（1）f(A∪B)=f(A)∪f(B) 。（2）f(A∩B)⊂f(A)∩f(B) 。
可见，我在上面第2楼中原来的证明也有问题，现已改正，你可以去看一下。