记 φ(x)=πx∏(n=1,∞)(1-x^2/n^2) ，证明：φ(x+1)=-φ(x)

wilsony

谁能证明？

Future_maths

luyuanhong

我过去在《数学中国》发表过一个帖子，证明了一个正弦函数的无穷乘积表达式：

     sinx = x ∏(n=1,∞)[1-x^2/(π^2n^2)] 。

在这个式子中，用 πx 代入 x 的位置，就得到

  sin(πx) = πx ∏(n=1,∞)（1-x^2/n^2) = φ(x) 。

所以有

φ(x+1) = sin(πx+π) = -sin(πx) = -φ(x) 。

wilsony

多谢陆老师！