[原创]集合论悖论的解决V6.0

e271828

[这个贴子最后由e271828在 2012/06/11 01:34am 第 1 次编辑] 集合论悖论的解决V7.5 http://www.okmyok.com/paradox.htm 李均宇(李林星) 2010.12.25 email:myvbvc@tom.com QQ:165442523 摘要：实数集R的所有幂集：P(R),P(P(R)),P(P(P(R))),...,Pn(R),...因为所有Pn(R)都是不包含自身的集合，罗素悖论中“所有不包含自身的集合”必包含所有Pn(R),也就是包含广义连续统假设中的全部基数{X0,X1,...Xn...}，从而无意义。 简而言之，集合可以包含自身，但集合不可以包含自身的幂集，这就是我与公理集合论最大不同点。 虽然我知道公理集合论是为了解决罗素悖论而产生的,但我认为公理集合论是在走弯路,甚至是误入岐路了.如果不包含下列的理论,我认为<<集合论>>是不完整的. 广义连续统假设:无限集合的基数必是X0,X1,...Xn...之一. 其中的基数X就是阿列夫,因为我找不到这个字符,所以用英文字母X表示了. 无意义公理:一个无限集的基数是极限limXn(n→∞),则这个集合是没有什么意义的. 这个公理是我引入的，我还没在别处见到过。 这个公理是易理解的，它就相当于公理集合论中的真类的概念，但公理集合论引入这个类的概念后就误入岐路了，至少作者是这样认为的。 李均宇第一定理：如果一个集合包含广义连续统假设中全部的基数，也就是集合{X0,X1,...Xn...},则这个集合的基数是limXn(n→∞) 这个定理是显而易见的，用反证法不难证明的。 李均宇第二定理:如果一个无限集合又包含自身的幂集,也就是集合A={......,P(A)),则这个集合A的基数是limXn(n→∞) 证明:设无限集合A的基数是Xn,n是固定不变的.因为无限集合A又包含自身的所有子集或幂集,而幂集的基数是 X(n+1)=2^Xn,所以无限集合A的势变成X(n+1),这与原先假设无限集合A的基 数是Xn,n是固定不变的相矛盾,所以无限集合A的基数是limXn(n→∞). 李均宇第三定理: 如果一个集合包含一个无穷集的所有幂集，也就是集合B={P(A),P(P(A)),P(P(P(A))),...,Pn(A),...},则这个集合B的基数是limXn(n→∞),尤其是当A为实数集R时，集合B={P(R),P1(R),P2(R),...,Pn(R),...},则这个集合B的基数是limXn(n→∞) 所有幂集,假设无穷集A，则其幂集P(A),幂集的幂集P(P(A)),幂集的幂集的幂集P(P(P(A))),...Pn(A).....称为其所有幂集。 因为一个无穷集的所有幂集的基数就是广义连续统假设中全部的基数，所以由李均宇第一定理知此定理成立。 李均宇第四定理: 假设集合P';n(A)与幂集Pn(A)等势，也就是基数一样，则P';n(A)也相当于幂集Pn(A)一样适用于李均宇第二和第三定理中。 一。基数悖论 定理1:所有集合的集合的基数是limXn(n→∞). 这个显而易见，这在<<集合论>>中早已有之，这里重述而已。因为所有集合的集合包含自身幂集，由李均宇第二定理知其基数是limXn(n→∞).所以这种集合在公理集合论中称为真类。 二。罗素悖论 李均宇第五定理:假设A是不包含自身的集合，则A的幂集P(A)也是不包含自身的集合. 证明:用反证法.假设任何一个不包含自身的集合为集合A,假设集合A的任一子集B是包含自身的集合,则子集B中有元素B,元素B是包含自身的集合,而元素B又是集合A的元素,集合A的元素都是不包含自身的集合的,所以元素B是不包含自身的集合,矛盾.所子集B是不包含自身的集合.幂集一样可用反证法证明.假设集合A的幂集是集合C,假设集合C是包含自身的集合,则集合C有一个元素C,元素C是包含自身的集合,但元素C又是集合A的子集,根据上面已用反证法证明的过程知集合A的子集也是不包含自身的集合,则元素C是不包含自身的集合,矛盾,所以幂集也是不包含自身的集合. 这点不难理解的，例如集合{1,2,3}不包含自身，则其所有子集和幂集也是不包含自身的，这很易理解的，只是推广到无限集合中去而已。再如实数集R不包含自身，则R的任一子集和幂集也是不包含自身的。 定理2:所有不包含自身的集合的基数也是limXn(n→∞). 证明:因为实数集R是不包含自身的集合，由李均宇第五定理所以R的所有幂集也是不包含自身的，也就是R的幂集R1，R的幂集的幂集R2，R的幂集的幂集的幂集R3。。。。全不包含自身，则所有不包含自身的集合必含R的所有幂集，由李均宇第三定理所以其基数也就是limXn(n→∞). 所以罗素悖论中的“所有不包含自身的集合”，这个集合的基数就是limXn(n→∞)，也就是公理集合论中的真类。 三。序数悖论 定理3:任何序数的非空集合都有最小数,从而任何序数的集合在小于等于关系下都是良序集. 定理3是<<集合论>>已有的定理,所以这里无须证明. 李均宇第六定理:任何序数的集合的幂集也是序数. 证明:因为任何序数的集合的子集也是序数的集合,所以由定理3知其子集也是良序数,所以子集也是一个序数,则所有子集组成的幂集也就是序数的集合,由定理3知此幂集也是良序集,所以此幂集也是一个序数. 定理4:所有序数的集合的基数也是limXn(n→∞). 证明:设所有序数的集合为集合A,由李均宇第六定理知此集合A的幂集也是序数,所以也应包含在集合A中,则集合A包含自身的幂集,由李均宇第二定理知此集合的基数是limXn(n→∞). 基数悖论的问题在于"所有集合的集合",序数悖论的问题在于"所有序数的集合",罗素悖论的问题在于"所有不包含自身的集合组成的集合".因为根据上面证明,这三个集合的基数都是limXn(n→∞).则这三个集合是没有什么意义的,所以集合论悖论没有动摇现有科学的基础. 作者认为公理集合论引进了类的概念是正确的，但随后是把简单的问题复杂化,作者把集合论悖论的解决用最简单的语言讲明白出来,抛弃了公理集合论这个科学上的怪胎,意义是十分重大的。 四。下面深入讨论下一些集合的性质 命题一：所有不包含自身幂集的集合是真类吗？是的。 因为实数集R的所有幂集都是不包含自身幂集的集合。所以所有不包含自身幂集的集合必包含实数集R的所有幂集，由李均宇第三定理知其为真类。为什么实数集R的所有幂集都是不包含自身幂集的集合呢，因为假设其任一幂集Rn包含自身幂集，则由李均宇第二定理知其为真类，这与Rn有固定Xn矛盾的。 命题二：所有不包含1的集合是真类吗？是的。 因为不包含1的集合的幂集也是不包含1的，这用反证法不难证明，因为它根本没有元素1了，所以其幂集也不可能包含有元素1.则其所有幂集也不包含元素1，假设实数集R去掉1后为数集r,则r的所有幂集r1,r2,...rn,...也不包含元素1，由李均宇第三定理知其为真类。 命题三：所有包含1的集合是真类吗？是的。 因为实数集R的幂集必包含元素{1},将括号去掉后就是元素1，去掉括号后的幂集与原幂集一一对应，仅仅{1}变成1，所以去掉括号后的幂集与原幂集等势，也就是相同基数，同理，实数集R的所有幂集都有等势幂集包含元素1，由李均宇第四定理和第三定理知其为真类。 那么所有不包含1的集合就真的无意义了吗？不是的。这就是全集的问题。如果全集是某个有固定基数Xn的集合，在这个全集内的所有子集中再讨论所有不包含1的集合，这就有意义了，不是真类了。如果全集是真类所有集合的集合，基数是limXn(n→∞)，那么才会可能是真类的。也就是说，任何将“所有集合的集合”划分为有限个子集的集合，都必定有一个子集是真类。再论罗素悖论中的“所有不包含自身的集合”，也是因为它的全集是所有集合的集合，才会无意义的，如果是某个集合内的“所有不包含自身的集合”，则有意义矣。

一线天

"所有集合的集合"是不存在的,否则就会与康托尔定理产生矛盾冲突,因为若所有集合的集合存在,那么这个集合的基数就是最大的,而根据康托尔定理,该集合的幂集合的基数又是更大的,矛盾. 同样的道理,"所有自身不属于自身的集合"也是不存在的,详细的原因你可以参考我写的<<十八王子与罗素悖论>>之中的解释,我给你帖一下这篇文章的部分内容: .......................................................................... 在具体的解释罗素悖论产生的根源之前,我们还需要了解一下集合论之中的另一个悖论:康托尔悖论. 　　康托尔悖论由集合论的创始人康托尔自已发现:其悖论的内容为:康托尔证明:若一集合的基数为n,则该集合的所有子集的集合的基数为2^n,所以有康托尔定理:任意集合的所有子集的基数大于该集合的基数.据康托尔集合理论，任何性质都可以决定一个集合，这样所有的集合又可以组成一个集合，即“所有集合的集合”（大全集）。显然，此集合应该是最大的集合了，因此其基数也应是最大的，然而其所有子集的集合的基数按“康托尔定理”又必然是更大的，那么，“所有集合的集合”就不成其为“所有集合的集合”了,矛盾,这就是“康托尔悖论”,又称为是最大基数悖论." 　　对这一悖论，康托尔并没有感到害怕，因为他可以通过反证法证明“所有集合的集合”是不存在的，当然也就没有“最大的基数”了,所以这个悖论是不成立的. 　　然尔后来罗素通过研究康托尔悖论和另一个集合论的一大悖论布拉里-福蒂悖论之后,随即构造出来了罗素悖论,产生了数学危机.既然康托尔悖论的解决方法是:不存在所有集合的集合,那么我们就应该考虑一下:罗素构造的"所有自身不属于自身的集合"存在吗?如果不存在,那么罗素悖论也同样不能成为悖论. 　　在思考这个问题之前,我们先来看一下这个例题:设有三个集合a1,a2,a3,这三个集合都是自身不属于自身的集合,现在做一个新的集合X,X={a1,a2,a3},现在问:X属于X吗? 　　对于这个问题,也许是X属于X成立,也许是X不属于X成立,但我们无法具体的来判断究竟是哪一个成立,那就可以做一个假设来进行推论,看一看究竟是哪种情况更合理. 　　首先,我们假设X是不属于X的,即X不是X之中的元素,这样看起来好象是并没有什么矛盾.` 　　接下来,我们假设X是属于X的,即X是X之中的一个元素,则这个集合就可以写成为:{a1,a2,a3,{X}}或者是{a1,a2,a3,{a1,a2,a3}},我们会发现这个集合与前一个集合:X={a1,a2,a3}并不是同一个集合,我们将这个集合称为是Y,可知X是属于Y的,而X不属于X.于是我们可以最终得出结论:X属于X是矛盾的,所以X不属于X. 　　根据这个推论,我们来看一下罗素悖论中构造的"所有自身不属于自身的集合"究竟是能不能构成的? 　　罗素将所有的集合都分成了两个大类,一类是所有自身不属于自身的集合,我们设这类集合是A类,另一类是所有自身属于自身的集合,我们设这类集合为B类,于是所有的集合可以写成下面的形式:} 　　A类:a1,a2,a3,a4,a5........an 　　B类:b1,b2,b3,b4,b5........bn 　　我们可以看到:所有的集合之中的任何一个集合都会在上表中出现,即:任给一个集合,它要么就是在A类中出现,要么就是在B类之中出现.现在罗素将A类之中所有自身不属于自身的集合合起来构成一个集合S,S={a1,a2,a3,a4.......an},S就是所有自身不属于自身的集合的集合,因为S本身也是一个集合,所以S也一定会在上表之中出现,那么S究竟是会出现在B类之中呢?还是会出现在A类之中呢?我们无法具体的来确定,只好用排除法来进行推论:首先,我们假设S是出现在B类之中,由于B类之中的所有集合都是自身属于自身的集合,所以若S是属于B类的,则S是S自身的一个元素,但根据S的构造的定义,S之中的所有元素全都是自身不属于自身的集合,所以若S是S之中的一个元素,则S必是不属于自身的,矛盾,所以S不能在B类之中出现,即S不能是自身属于自身的集合. 　　接下来我们来假设第二种情况:S会出现在A类之中,即假设S是自身不属于自身的集合,则根据S的定义,S就是S之中的一个元素,即S属于S------也许你会说了:这不是又推导出来了矛盾了吗?且慢,没有矛盾,因为若S是S之中的一个元素,则这个集合就会变成这个样子:{a1,a2,a3,a4........an,{S}},我们来比较先前的S集合的样子:{a1,a2,a3,a4......an},可知这两个集合其实并不是同一个集合,而是两个不同的集合,我们将这个新集合定义为F,则S属于F,而S不属于S. 　　也就是说,由S不属于S的假设之中并没有推导出来S属于S的矛盾,只能推导出来:先前假设的所有自身不属于自身的集合并不是S,而是F. 　　既然S不是所有自身不属于自身的集合,而F才是所有自身不属于自身的集合,因为F本身也是一个集合,那么问:F是属于自身呢?还是F不属于自身?" 　　我们依然可以根据先前的推论方法推知,若F是属于自身的,则会推导出来F不属于自身的矛盾,若F是不属于自身的,即令F是F之中的元素,则又会得到一个新集合G,F属于G,而F不属于F,由此又推论出F同样不是所有自身不属于自身的集合,而G才是所有自身不属于自身的集合.........然后你又可以用同样的方法再次的推导出来G也不是所有自身不属于自身的集合........由此一来你就会发现我们陷入到了一个无限的恶性循环之中,那个"所有自身不属于自身的集合"是永远也构造不出来的. 　　所以罗素悖论的错误的根源就是在于:假设中的"所有自身不属于自身的集合"其实是根本就不会存在的,所以问一个不存在的集合是属于自身的还是不属于自身的其本身就是一个错误的假设,是完全没有意义的.就如同说:那个外星人是在中国发现的还是在外国发现的?其实那个外星人本来就是不存在的,所以问这个问题没有任何的意义. 　　其实这个问题也是很好理解的,因为康托尔悖论就是因为假设了存在"所有集合的集合"才会产生了矛盾,若是证明"所有集合的集合"是不存在的,就不会产生康托尔悖论,同样的道理,"所有自身不属于自身的集合"也是同样不会存在的,所以也就不存在罗素悖论的矛盾了. 　　说到这里,我们还得需要再来找一下原因:为什么"所有自身不属于自身的集合"是不可构造的?我们来看一下下表: 　　A类集合:a1,a2,a3,a4,a5........an,我们已经假设将所有自身不属于自身的集合全都在这个表一一列举出来了,然后再构造一个集合S,S={a1,a2,a3,a4.......an},若S是属于A类集合的,则S必会在这个表之中出现,即:必会存在某一个ak=S,而这个ak是在构造S之前就已经存在的了,做一个比较通俗易懂的比喻就是:上帝在创造亚当之前,亚当就已经存在了,那么上帝创造的这个亚当还是不是亚当?那个先前就已经存在的亚当是不是上帝创造的? 　　所以归根结底的来说,产生罗素悖论的根源就是在于做了一个错误的假设而推导出来了一个错误的结果,这种方法本身是不可取的,所以罗素悖论并不是真正意义上的集合论之中的悖论,它是一个伪悖论,所以它不会在真正意义上构成数学史上的第三次数学危机,所谓的第三次数学危机只是被一个虚假的伪悖论迷惑下的假象. ........................................................................... 　　

e271828

不知[第 2 楼]的老兄在说什么也,看得不知所云也.

一线天

楼主,你既然是研究的集合论之中的悖论,那么你就不能不仔细的研究一下康托尔悖论和罗素悖论.
那么请你说一下你的观点吧:康托尔悖论之中的“所有集合的集合”存在吗？如果你认为存在，那么你怎么解决该集合的幂集合的基数比该项集合的基数更大的这一矛盾？
同样，在罗素悖论之中，你认为“所有自身不属于自身的集合”存在吗？如果你认为它存在，那么你怎么解决该集合究竟属不属于自身的这一矛盾？
我的观点是：“所有集合的集合”与“所有自身不属于自身的集合”皆不存在，所以康托尔悖论和罗素悖论不是集合论之中的矛盾。

E271828

什么存不存在,不就是公理集合论所说的真类吗?
你应未看过公理集合论吧
我的观点是,这几个集合的基数是limXn(n→∞),因为它们都包含自身所有子集或幂集,我的文章不是说得很明白吗,层次清楚,不象你的文章,语无伦次,不知所云也
SORRY,或者我讲得严重了点,你的文章语无伦次,SORRY

一线天

既然你如此的自信,那我就没有必要和你再讨论了.
不过,有一点疑惑:一个集合居然可以包含自身的所有子集?太高深了!
居然会存在这样的集合?:A的幂集合是A?闻所未闻.

e271828

简而言之，集合可以包含自身，但集合不可以包含自身的幂集，这就是我与公理集合论最大不同点。

e271828

简而言之，集合可以包含自身，但集合不可以包含自身的幂集，这就是我与公理集合论最大不同点。请认真体会这一句话。

任在深

“集合论”休矣！
“单位论”兴也！！