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在介绍哥德尔不完备性定理之前,首先要了解一下这个定理的由来:
20世纪初，在集合论不断发展的基础上,大数学家希尔伯特向全世界的数学家抛出了个宏伟计划，其大意是建立一组公理体系，使一切数学命题原则上都可由此在有限步内推定真伪，这叫做公理体系的“完备性”,这看起来是个非常直观的结论，因为一个命题的结论要么是真要么是假，而它在它所处的数学系统中当然应该能够证明或证伪了.
就在希尔伯特乐观地期盼着数学大厦最后竣工之际，突然一声晴天霹雳。1931年，在希尔伯特提出计划不到3年，年轻的哥德尔就使希尔伯特的梦想变成了噩梦。哥德尔证明：任何无矛盾的公理体系，只要包含初等算术的陈述，则必定存在一个不可判定命题，用这组公理不能在有限步内判定其真假,这便是闻名于世的哥德尔不完全性定理。
哥德尔定理的提出在当时的数学界揭起了轩然大波，其证明不仅具有数学意义，而且蕴含了深刻的哲学意义。从那时起这一不完备性定理就被引申到自然科学乃至人文科学的各个角落…至今还没有任何一个数学定理居然能够产生这么广泛而深远的影响。
哥德尔的证明非常的长，达到了200多页纸，但其中很大的成分是用在了一些辅助性的工作上面，哥德尔证明的核心是构造了这样的一个命题P，这个命题P用最简单的自然语言表达就是“P不可被证明”，也就是说“我不可以被证明",也许大家一看到这个命题的形式就会立刻联想到那个著名的说谎者悖论:当一个人说:"我正在说谎",的时候,他是不是在说谎?而这个命题在推导的结论上便会构成悖论:请大家来看一看这个命题P能不能被证明?如果P能够被证明,而P所表达的是P不可被证明,所以P不能被证明,反之,如果P不能被证明,而P说的正是P不能被证明,所以P是正确的命题,既然P是正确的命题,则正是说明P不可以被证明,无论如何都是矛盾.
介绍完了哥德尔不完备性定理,接下来说:为什么说哥德尔的这个证明是一个荒谬的定理?因为这个定理的证明与说谎者悖论一样,其实是一个诡辩,其诡辩的技巧是在暗中做了一个P真和P假的概念偷换,至于哥德尔是怎么偷换概念的?在此我并不说破,否则就无趣了,我完全可以按照哥德尔的证明方法来构造出来一个相同形式的命题T,这个命题用相同的哥德尔形式来表达就是:"T不可证".
现在我故意的构造出来一个命题:"哥德尔定理不可证",并将这个命题代入到命题T之中,也就是说,我将哥德尔定理的自身代入到了哥德尔的命题形式之中,请大家来看一下会有什么结果产生?
请问T能不能被证明?推论(1):若T能被证明,而T说的是哥德尔定理不可证,所以哥德尔定理不可被证明,
推论(2):如果T不能被证明,而T说的正是T不可证,所以T是正确的命题,既然T是正确的命题,同样说明哥德尔定理不可证.
结论:哥德尔定理不可被证明.
但上述的结论明明就是一个诡辩,因为我们明明知道哥德尔定理早就被证明了,怎么能不可证呢?
其原因就是在于我先做了一个错误的假设,然后在证明的过程中在暗中以不被人察觉的巧妙方式进行了概念偷换,所以,如果你知道我是怎么做的概念偷换的,你就会知道哥德尔他是怎么进行概念偷换的.
最后结论:哥德尔不完备性定理实属诡辩.
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发表于 2008-2-27 10:14
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