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提到逻辑悖论,就不能不提到罗素悖论,由于罗素悖论的发现,在数学史上引起了一场轩然大波,史称第三次数学危机.
罗素悖论是由美国的著名哲学家,数学家罗素提出来的一个集合论之中的悖论,其悖论的大意为 :集合可以分为两类：第一类集合的特征是：集合自身又是集合自身中的元素，第二类集合的特征是：集合自身不是集合自身中的元素，显然,任何一个集合要么就是属于第一类的,要么就是属于第二类的。现在假定R是由所有不是自身元素的集合所构成的集合。那么，R是R中的元素吗？
如果R是R中的元素，由R的定义，R中的所有元素全都是不属于自身的,所以R不是R中的元素；如果R不是R中的元素，那么，由R的定义，R又必须是R的元素，由此导致矛盾,这就是著名的“罗素悖论”。
为了说明什么叫做"集合自身是集合自身的元素"?对这个概念的几个通俗的解释是:例如:所有苹果的集合A,其集合自身不是苹果,所以A不是A中的元素,而所有不是苹果的集合B,由于其集合自身也不是苹果,所以B就是B中的元素.
再例如:所有概念的集合D,其集合自身也是一个概念,所以D也是D中的元素.
罗素悖论的推理在古典集合论之中被认为是无懈可击,无可辩驳的,所以导致了数学逻辑基础的极大震动.
由于罗素悖论的提出是在于给出来了"集合自身属于自身"和"集合自身不属于自身"的这两个概念,那么我们就要问:这两个概念是合法的吗?如果这两个概念的本身就是不合法的,那么罗素悖论也是不合法的.
现在根据上述的对于"集合自身属于自身"和"集合自身不属于自身"的这两个概念的解释推导出来如下的悖论:
(1):首先定义一个集合:"所有苹果的集合"A,显然,集合A中的元素全都是苹果.
(2):那么,除了集合A之外的所有集合,便全都是"不是苹果的集合".例如:"所有人的集合","所有动物的集合","所有国家的集合".........其集合自身全都不是苹果,所以它们全都是"不是苹果的集合"
(3):假设令S是由所有的"不是苹果的集合"所构成的集合,问:A属于S吗?
(4):由于集合A的自身不是苹果,所以A不是A中的元素.即:由于集合A不是苹果,所以集合A的自身是"不是苹果的集合",
同时由于集合A的自身是"不是苹果的集合",所以根据定义,A便是S中的元素.
(5):由集合S中的所有元素的性质可知:S中的所有元素中的元素全都不是苹果,例如:"所有人的集合"E,E中的所有元系不是苹果,"所有动物的集合"F,F中的所有元素也都不是苹果........,由于A是S中的元素,所以A满足S中的元素的性质,所以A中的所有元素也全都不是苹果.
(6):由(1)可知,A中的元素全都是苹果,所以(5)与(1)矛盾.
请大家来评述一下,产生上述矛盾的原因究竟是什么?
由于这个悖论是根据罗素悖论推导出来的,所以我仍然将它定义为是"罗素悖论",但要注意,此"罗素悖论"非彼罗素悖论也. |
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发表于 2008-3-16 13:15
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