多元函数连续性与可微性的关系。

fm1134

我们知道，多元函数u(x1,x2,....xn)在某点若是可微的，则它在该点也是连续的。这个命题的逆命题成立吗？即：对于多元函数来说，连续一定可微吗？翻了些书，好象都没有这个定理。

chinaunix

不成立，存在点点不可微但点点连续的函数

chinaunix

[这个贴子最后由chinaunix在 2008/10/03 11:20pm 第 1 次编辑] 当年，魏尔斯特拉斯构造了一个点点不可微的单元函数 无穷大 f(x)=求和（b^n*cos(a^n*pi*x)） (0

天山草

“雪花”曲线就是“处处连续，处处不可微”的怪物。

瑞典人科赫于1904年提出了著名的“雪花”曲线，这种曲线的作法是，从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间长度为底边。分别向外作正三角形，再把“底边”线段抹掉，这样就得到一个六角形，它共有12条边。再把每条边三等份，以各中间部分的长度为底边，向外作正三角形后，抹掉底边线段。反复进行这一过程，就会得到一个“雪花”样子的曲线。这曲线叫做科赫曲线或雪花曲线。
科赫曲线有着极不寻常的特性，不但它的周长为无限大，而且曲线上任两点之间的距离也是无限大。曲线在任何一点处都连续，但却处处“不可导”（没有确定的切线方向）。该曲线长度无限，却包围着有限的面积。
这种奇怪的几何怪物的发现，向十九世纪的数学家提出了挑战，因为这种曲线打破了人们的直觉观念：连续曲线总能借助于铅笔的不间断移动画出来，局部曲线总是“光滑”的。但是科赫曲线提醒人们，在研究无穷过程时，直觉是一个很不可靠的向导，这种挑战迫使数学家们为其职业制定更高更严的标准，曲线的定义也需要加以修改，以适应类似这种“病态”的雪花怪物。
    两年前曾在“东陆”发过雪花曲线，可惜“东陆”毁了，本人的原图也删了。只剩下文字说明了。

wangyangkee

不管弯国强先生的文章正确与否，其现在的水准，与 qingjiao 的爹的同期比，如何？弯国强先生会不会养出那种尖酸刻薄的儿子？

love-math

下面引用由fm1134在 2008/10/03 03:54pm 发表的内容：
我们知道，多元函数u(x1,x2,....xn)在某点若是可微的，则它在该点也是连续的。这个命题的逆命题成立吗？即：对于多元函数来说，连续一定可微吗？翻了些书，好象都没有这个定理。

这个问题答案是否定的：连续未必可微。
其答案可以在任何一本多元微积分的书中找到。之所以不写成一个定理，是因为，它不是说所有的连续函数都不可微，因此，只能够作为附注进行举例说明。