x^n - 1 的因式分解

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2008/12/25 05:32pm 第 4 次编辑]

这是我对 zjiannanbjtu 在帖子“高等代数问题，请会的来答”
http://bbs.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=5099&start=0#4
中提出的问题的解答。

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2008/12/24 10:39pm 第 1 次编辑]

    在有理数域中分解 x^n - 1 的因式，似乎每个因式中，各项系数的值不是 +1 就是 -1。一直到 n = 104 都是如此。但是当 n = 105 时，不得了啦，竟然出现了两个“-2”系数：

    不知以后当 n 继续增大时，会不会出现系数的绝对值等于 10 的情况？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2008/12/25 00:22am 第 2 次编辑]

楼上天山草发现当 n＝105＝3×5×7 时，x^n - 1 的因式的系数中，出现了两个“-2”，打破了“系数都是 ±1 ”的规律。
我想，可能当 n 是 3 个或更多奇素数的乘积时，都会发生这种现象。
下面是 n＝165＝3×5×11 时，x^n - 1 的因式分解，在因式的系数中，果然出现了10个“2”。

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2008/12/26 11:21pm 第 1 次编辑]

陆教授说得有理，对于 x^17017-1 分解因式，由于 17017 = 7*11*13*17，系数中出现了 10、9、8、7、6、5、4、3、2 的情况。

申一言

[这个贴子最后由申一言在 2008/12/26 11:36pm 第 2 次编辑]


  (1) X^n-1=0,    好玩!
  当仅当X=1, X-1=0,其他的各项是聋子的耳朵?
  方程(1)如果作为分圆域去探讨就更好玩了?
  假如按单位论来探讨,那就没意思了!!
   因为
        (2)  X=(1)^1/n=1,它只不过是基本单位元--单位圆的半径 r=1,绕圆旋转一周而已.该方程的根有n个,n→∞.
  

wangyangkee

x^n - 1 的因式分解

申一言

下面引用由yeduhengzhou在 2010/08/11 07:39am 发表的内容：
问：
x^n-1可以这样分解，那么,x^n-1^n是否可以这样分解？

  假设 Xˇn-1ˇn=Yˇn
   则  Xˇn-Yˇn=1ˇn
   即  Yˇn+1ˇn=Xˇn.

申一言

下面引用由yeduhengzhou在 2010/08/11 10:26am 发表的内容：
废话。

    废话的废话！？