非标准分析中的无穷单位元Ω与标准微积分中的无穷大∞是什么关系？

lethe

说一点题外话
传统分析中的无穷大量实际上只是一个记号，和lim是一样的，只是一个空壳。它代表了对任意M，都存在N使得对任意n>N都有xn>M这个含义。因为这样说太罗嗦了所以才简化成一个新符号，无穷大
使用这样的符号是假定了所有观众都对数学分析有相当的了解。但是遗憾的是这里的人们几乎都不满足这个条件，所以很多人对无穷大量的解释都成了扯淡，并不是发明这个记号的初衷

而非标准分析是确实在数系中添加了一个被称为无穷大的元素。为了证明存在这样的逻辑结构甚至还动用了一个逻辑上的定理，我不太清楚。
如果只是简单地把无穷大用单超越扩张的形式添加到域中，根本就不需要这么麻烦的手续，因为单超越扩张是所有代数书都会提及的基本概念，作为集合在上面定义度量什么的也都是合情合理的。。。

wanwna

下面引用由lethe在 2009/10/29 11:34am 发表的内容：
上确界的是由完备性决定的。那么lz倒是给出R(Ω)的一个度量啊，然后证明这是一个完备度量啊
=。=这个论坛的悲剧是几乎所有人都和现代数学隔绝，不懂得定理背后的条件，甚至不懂得逻辑推演。lz似乎是挺有数学修养 ...

建立在另外一套逻辑之上?
为它还要新建立一套逻辑这么底层的东西?
这是完全没必要的事情,您太夸张了

wanwna

下面引用由lethe在 2009/10/29 11:45am 发表的内容：
说一点题外话
传统分析中的无穷大量实际上只是一个记号，和lim是一样的，只是一个空壳。它代表了对任意M，都存在N使得对任意n>N都有xn>M这个含义。因为这样说太罗嗦了所以才简化成一个新符号，无穷大
使用 ...

另外,"逻辑结构"?您确认不是叫"代数结构"?

lethe1

我确实用词不当。匆忙之间没加以考虑。。。当初说建立在新的逻辑上，我只是想表达R*已经无法用群环域表达了。
摘自wiki，这就是我要表达的意思
There are two very different approaches to non-standard analysis: the semantic or model-theoretic approach and the syntactic approach. Both these approaches apply to other areas of mathematics beyond analysis, including number theory, algebra and topology.
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逻辑结构四个字我是考虑过的
关于这点我真的很无知，逻辑是我想的到的最好的词。根据文献可能把“逻辑结构”叫做“模型”会精确很多。（其实我觉得逻辑未必非得指底层得如真值表一般的东西）
我引用一段定理，这个我不懂，但这个定理在什么层面上工作应该是很清楚的。
紧致性定理：在任何一个特定的形式语言系统中的任何语言集T，如果T的任何有限语句集是相容的，则整个语句集T是相容的。
据说接下来一个推论就是非标准模型存在性。
虽然不懂，但我真的看不出有什么代数（运算）存在。

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查了一下wiki，非标准分析中的无穷大元只有一个，无穷小元也只有一个，无穷大+有限=无穷大
看来并不是简简单单的单超越扩张，也并不是我们现在所常见的代数。那它到底是什么？

jzkyllcjl

紧致性定理也叫有限性原理，它是《非标准分析》的基础，它的导出需要选择公理；因此它们都是违反实践的“完成的实无穷”观点的产物！

luyuanhong

参看我在《数学中国》《基础数学》中发表的帖子：
“非标准分析”中“超实数”的结构和性质
http://bbs.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=9159

从“非标准分析”的观点来看一些集合的基数问题。
http://bbs.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=9208

“非标准分析”简介
http://bbs.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=4932

用“非标准分析”观点看无穷大量和无穷小量
http://bbs.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=5342

非标准分析中关于函数极限、导数和曲线切线的定义
http://bbs.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=5376

怎样看罗宾逊非标准分析中的“无穷”和康托集合论中的“无穷”
http://bbs.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=4186

非标准分析——从实数系 R 到超实数系 R* 的扩张
http://bbs.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=8362

白洞先生在《数学中国》《基础数学》中有一篇介绍“非标准分析”的帖子
“现代数学中的新理论--非标准分析”：
http://bbs.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=1182
也很好，也可以去看一下。