请教张彧典先生

雷明85639720

请教张彧典先生
雷  明
(二○一八年五月三日至六日)

二○一八年五月三日：请教张彧典先生（一）
在张先生《四色猜想的独特证明》一文中，我有几个地方提出问题，想请张先生回答一下。
1、“正确4染色的任一染色困局构形”可不可以理解为就是“只有一个顶点未着色的构形”。
2、如果在正确4染色的任一困局构形中，不存在至少一个四色四边形，就能说明该构形中只用了3种颜色，这与已知条件是“正确4染色的任一困局构形”便产生了矛盾，就可以证明“正确4染色的任一染色困局构形”中一定至少有一个四色四边形的结论是正确的。
3、“第一步，颠倒A—C（或A—D）极大链一侧的B—D（或B—C）链的染色，生成B—C（或B—D）极大链；或生成A—C（或A—D）极大链，使构形走出染色困局。”这句话分号之前说对了。分号后说错了：一是不可能生成A—C（或A—D）极大链，二是也没以走出染色困局。
4、以后的第二步，第三步，第四步，分号以后说的都是错的，分号之前说对了，但链很多地方写错了。如“第二步，颠倒B—C（或B—D）极大链一侧的D—A（或C—A）链的染色，生成B—C（或B—D）极大链”，就是“第二步，颠倒C—B（或C—A）极大链一侧的D—A（或D—B）链的染色，生成D—B（或D—A）极大链。”

二○一八年五月三日：请教张彧典先生（二）
在张先生《四色猜想的独特证明》一文中，我还有几个地方提出问题，想请张先生回答一下。
1、我认为张先生在这里的所谓“正确4染色”的定义不明确，比如一个四边形，可以用两种颜色着色，也可以用三种颜色着色，也可以用四种颜色着色，那一个是“正确的”呢，所有偶圈都存在这种问题；又如一个五边形，可以用三种颜色着色，也可以用四种颜色着色，那一个是正确的呢，所有奇圈也都存在这样的问题。
2、我认为张先生的定理2“正确4染色的染色困局中一定存在至少一个四色四边形。”的说法也是不严密的。比如，一个三角形的构形（未着色顶点在三角形外面，可不画出），就是一个正确的可4染色，却没有四色四边形。这样的例子还能举出很多。
3、我认为，在这里的“正确4染色”应说成“正确可4染色”，其义是“色数是最小的可4染色”。 “正确4染色的染色困局中一定存在至少一个四色四边形。”应是“正确可4染色且色数是4的染色困局中，一定存在至少一个四色四边形（四边形在三角剖分时应是两个三角形）。”这样才比较合适。因为正确可4染色且色数小于4的染色，是不会产生染色困局的，给未着色的顶点直接着上第四种颜色就可以了。

二○一八年五月三日：请教张彧典先生（三）
在张先生《四色猜想的独特证明》一文中，我还有以下问题，想请张先生回答一下。
1、我对“正确4染色的染色困局中一定存在至少一个四色四边形。”也认为是不恰当的。因为一个偶轮的色数是3，当在这个偶轮外面增加一个未着色顶点，根本也就构不成染色困局，给这个未着色顶点着上偶轮轮中心顶点的颜色即可，整个图也仍是只用了3种颜色。这个所谓的“染色困局”中也不存在四色四边形。所以更准确一点说，应是“正确可4染色且色数是4的染色困局中一定存在至少一个四色四边形。”如一个奇轮（除3—轮外）的色数是4，当在这个奇轮外面增加一个未着色顶点，构成一个染色困局时，这个染色困局中就至少存在四色四边形。但3—轮的色数也是4，在其外增加一个未着色顶点却构不成染色困局，未着色顶点可以直接着上3—轮中心的颜色，整个图仍是用了4种颜色，图中也不存在四色四边形。所以我说的“正确可4染色且色数是4的染色困局中一定存在至少一个四色四边形。”也是不恰当的。
2、四色四边形，也不太严密，就是一个四边形用了四种颜色，叫四色四边形。那么一个由两个三角形共用一条边构成的有一条对角线的四边形也用了四种颜色时，叫不叫四色四边形呢。
3、染色困局，指的是只要有一个顶点未染色的构形呢，还是单指具有赫渥特图一样的链的构形呢，这些都必须说清楚。如果染色困局只是指具有赫渥特图那样的链的构形，那么也可能我以上所说的一切问题都将不会存在。所以定义是一个关键的问题。

二○一八年五月三日：请教张彧典先生（四）
关于“正确可4染色且色数是4的染色困局构形中一定存在至少一个四色四边形。”还可以简单明了化。既知色数是一个具体值4，那么一定是最少的用色；既是最少的用色，一定是符合相邻顶点不着同一颜色的着色要求的；既是符合着色要求的，那么一业就是正确的着色。所以“正确可4染色且色数是4的染色困局构形中一定存在至少一个四色四边形。”就可以用“色数是4（除3—轮外）的染色困局构形中一定存在至少一个四色四边形。”

二○一八年五月四日：请教张彧典先生（五）
1、其实你的Z3与Z1是同一类构形，因为他们都有A—B环形链，交换A—B环形链内外的任一条C—D链都可以使图变成一个可同时移去两个同色B的K—构形，且因为Z1是九点形，所以Z1也可以直接移去两个同色B。
2、你的图8，a和图8，b也是Z1一类构形，同样是图中都含有A—B环形链，交换A—B环形链内外的任一条C—D链，也都可以使图变成可同时移去两个同色B的K—构形。
3、你的图8，c的两个构形都是Z2一类的构形，其中也都含有C—D环形链，交换C—D环形链内外的任一条A—B链，也都可以使图变成可以空出A，C，D三色之一的K—构形。
4、你的图8，a是敢峰—米勒图的原型，即是你的图1（2）；图8，b是敢峰—米勒图进行了两次逆时针颠倒后的图，即是你的图1（4），只是你把原来的ABA型变成了BAB型；你的图8，c是敢峰—米勒图进行了一次逆时针颠倒后的图，即是你的图1（3），只是你把原来的DCD型变成了BAB型；你的图8，d是敢峰—米勒图进行了三次逆时针颠倒后的图，即是你的图1（5），只是你把原来的CDC型变成了BAB型。
5、在4中所说的，就是我以前说的你只看到了四个图中都有环形的A—B链，而没有看到他们虽然都有环形的A—B链，但该链的实质却不同。一个是敢峰—米勒图原图中的和进行了两次颠倒后的图中的A—B环形链，相当于Z1构形中的A—B环形链；一个是敢峰—米勒图进行了一次和三次颠倒后的图中的A—B环形链，相当于Z2构形中的C—D环形链。从这里可以看出，你的所谓Z—换色程序就是多余的了。还应是我说的：在有A—B环形链存在的情况下，交换该环内外的任一条C—D链，图就成为K—构形了：在有C—D环形链存在的情况下，交换该环内外的任一条A—B链，图也就成为K—构形了。都成了K—构形，当然也就是可约的了。
先就谈这些，后面再谈。

二○一八年五月六日：请教张彧典先生（六）
1、张先生的文章主要是谈四色四边形定理及其应用的。张先生把其应用在了敢知米勒图上，使敢峰－米勒图发生了一些改变，就不是敢峰－米勒图了。虽然是这样，但却产生了一些新的构形。
2、张先生把四色四边形定理用在了H—构形的最其本模型图2上，得到了四种最简单的三角剖分的最小（九点形）构形。其中三个是可以同时移去两个同色B的K—构形，只有一个是真正的H—构形，其中有一条环形的C—D环形链，这是H—构形的显著特征。张先生把它命名为Z2。另外三个可同时移去两个同色B的九点形构形中，其中有一个有一条环形的A—B链，张先生把它命名为Z1。而另外的两种构形这里张先生又不把他们划归为H—构形了（以前先生硬是要坚持他俩也是H—构形的。
3、张先生又对H—构形的最基本模型图2进行变形，增加顶点，得到一个Z3构形，张先生再对Z3构形进行变形，使之成为了敢峰—米勒图。然后再对敢峰—米勒图进行了三次逆时针颠倒，得到了先生的所谓敢峰—米勒图的四姐妹（即我在上面的《请教张彧典先生（五）》中所说的图8，a，图8，b，图8，c（1），图8，c（2）四个图）。张先生把他们一起都命名为Z6。
4、张先生又在敢峰—米勒图的基础上，采用四色四边形定理，对其进行变形（变形后当然就不再是敢峰—米勒图了），得到了所谓放大的17点式的Z1，Z2，Z3，Z4，Z5，Z7和Z8。
5、在张先生的Z构形中，Z1， Z1十六点式放大图，Z3，Z3十六点式放大图，Z6中的图8，a和图8，b，Z7以及Z7中的图14，b，Z8中的图15，c中，都有经过了5—轮连续三个轮沿顶点的环形的A—B链，把C—D链分成了两个不连通的部分。这就是我的H—构形不可免集中的a类构形。解决这类构形的办法应是交换环形的A—B链内、外的任一条C—D链，都可使图变成可同时移去两个同色B的K—构形。
6、而在Z2，Z2十六点式放大图，Z4，Z6中的图8，c（1）和图8，c（2），Z7中的图14，a，Z8中的图15，d中，都有经过了5—轮连续两个轮沿顶点的环形的C—D链，把A—B链分成了两个不连通的部分。这则是我的H—构形不可免集中的b类构形。解决这类构形的办法是交换环形的C—D链内、外的任一条A—B链，都可使图变成可空出A，C，D三色之一的K—构形。
7、在Z5，Z7中的图14，c和图14，d，Z8以及Z8中的图15，a和图15，b中，都既没有环形的A—B链，也没有环形的C—D链。A—B链和C—D链两链也都只有一条直链。这种情况还分两种：一种是以A—B链为对称轴的对称构形（如图13的Z5），一种是无对称轴的非对称构形（如图14的Z7和Z7的c和d以及图15的Z8和Z8的a和b）。非对称的构形解决的办法应是进行一次转型交换（即一次颠倒）后，要么得到一个可同时移去两个同色C或D的K—构形，要么是得到一个b类H—构形，都是可约的。这也就是我的H—构形不可免集中的c类构形。对于对称的构形则颠倒的次数要多一些，前两次颠倒主要是把对称构形转化为非对称的构形的，然后再按解决非对称构形的办法去解决。这也就是我的H—构形不可免集中的d类构形。

二○一八年五月六日：请教张彧典先生（七）
1、张先生解决以上Z构形的办法，除了Z6，Z7和Z8三个构形是用的Z—换色程序（有A—B环形链者，可同时移去两个同色B；有C—D环形链者，可空出A，C，D三色之一）外，其余都用的是颠倒法。Z1交换了两次，Z2交换了3次，Z3交换了4次，Z4交换了5次，Z5交换了6次。Z5是交换最多的一个Z构形。
2、由于图14，图14，c和图14，d的Z7构形，以及图15，图15，a和图15，b的Z8构形都没有环形链，不能直接使用Z—换色程序，所以张先生又只好再用颠倒法进行解决了。在进行了两次颠倒后，图中又会产生环形的A—B链或环形的C—D链，然后再用Z—换色程序进行解决。交换次数也最多五次可以解决问题。
3、我的H—构形不可免集中的四类构形包含含了张先生这里的8种构形，张先生的Z1，Z2，Z3，Z4，Z5用的都是颠倒法，Z6，Z7，Z8用的都是Z—换色程序，而当不能用Z—换色程序时，又返回使用颠倒法。而我解决的办法则是，有A—B环形链时，交换A—B环形链内外的任一条C—D链就可解决问题；有C—D环形链时，交换C—D环形链内外的任一条A—B链也就可以解决问题。对于无环形链的构形，看其是否是对称构形，是对称构形时，先通过颠倒两次，使图变成非对称构形，然后再用转型交换法，交换一次也就可以解决问题。
4、这里最关键的问题是张先生仍然没有证明其8个Z构形是否就是所有的H—构形的不可免集，即没有证明他的不可免集的完备性。这8个构形解决了，仍然不能说明四色猜测就是正确的。而我的H—构形的不可免集是经过了完备性证明的。四类不可免构形解决了，就能够说明四色猜测就是正确的。

雷  明
二○一八年五月六日于长安

    注：该文中各贴均于写出的当天就发表在《中国博士网》上。