一个点的长度是0还是非0无穷小？

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一个点的长度是0还是非0无穷小？对于这个问题，我的看法是：绝对0。理由如下：
1、从点这个概念的意义来讲，它是确定直线（或平面、立体等）位置的量，比如：我们说
x=0.5的点，它表示x轴上与原点距离是0。5的那个位置，一个位置，有什么长度可言？字典
上对“点”这个概念的解释是：没有大小（即没有长、宽、高），而只有位置，不可分割的
图形。
2、非0无穷小是什么？无穷小说白了只是一个极限趋于0的变量罢了，既然是一个变量，无
穷小不是一个确定的量，它是可以任意变化的。说一个点的长度是一个变量，合适吗？
3、如果说一个点的长度是0，那么线段[0,1]的长度也是0了？非也！我们知道，实数可以看
作是由有理数和无理数组成的。有理数可以表示为n/m(m、n为整数，且m、n互质），而无理
数不能表示为由整数经过简单四则运算而成的数，只能表示为无穷不循环小数。从这个性质
可以看出，有理数集是一个可数集，而无理数集是一个不可数集。对于可数集，可以利用数
学归纳法推知：如果一个点的长度为0，则可数无穷多个点的长度也是0，而对于不可数无穷
多个点，无法利用数学归纳法，所以不能推知其长度是0的结论。因此，如果我们认定一个
点的长度是0，则它与线段[0，1]的长度不为0的结论并不矛盾。而对于[0，1]上的全体无理
数点，由于它有不可数无穷多个，不满足数学归纳法，所以其长度未必等于0，即所谓的
“连续统”。
由以上论述可以看出，认为一个点的长度是0，而不是非0无穷小，是合理的。尽管“连续
统”只是一个假说，但它至少可以自圆其说。

吴代业２

只有一个点没有量，那就是原点（０）！其它相对于原点的点都有量！（除非与原点重复）不管一维，２维．３维，４维．．．．．．Ｎ维！点是不连续的（所谓缝隙），不连续的原因是可取无穷小（中间有缝隙）；但点又是连续的，取相同的无穷小（缝隙），那它就对应自然数：１．２．３．．．．．因此它又是连续的可数的！
再谈谈龟兔悖论：数是人类的智慧抽象物！１／２．１／４．．．．１／Ｎ；说什么都行．出这个难题的人，利用抽象数来类比，混淆人的正常思维，诱导人的错误思维！我们把龟和兔分别看成两个不同的点，假定龟每次移动１个单位（可以是无穷小），连续移动１０次，就是１０个单位，兔也连续移动，每次也移动１个单位，但此１比彼１大！如果不承认这个事实，１＝１，当然兔子赶不上龟；如果承认这个事实，１龟单位＜１兔单位，哪怕兔单位比龟单位大无穷小，但是总有一时无穷小积为无穷大，兔子赶上了龟！

顽石

[这个贴子最后由顽石在 2009/02/13 00:33pm 第 2 次编辑]

1.所谓“无穷循环小数”，“无穷不循环小数”，统称“无穷小数”，都不是一个小数，都不能用一个点来表示。
2.“无穷小数”，它们都是由无穷多个小数组成的一个递增数列。它们的极限都是一个确定的点。所以表现在线段上的点都是离散状态的，全部都是有限小数！
3.有限小数的位数长度有多少呢？就应该按照“每个自然数的位数长度有多少呢？”这样的方式来回答问题，才是公平的。
4.按照皮亚诺五条公理，没有“无穷循环自然数”和“无穷不循环自然数”，没有无穷多位自然数，凡是自然数都是有限位的。
皮亚诺的无穷观，属于“潜无穷思想”，无穷大都是潜在的，没有最大的无穷大。是永远可构造的，不承认构造已经完毕的“实无穷”。
5.两点之间永远可插入一个点！因此，两点之间永远可插入无穷多的点，点在线段中，都是潜在可点定的。点被使用了，才变成实在的点。

顽石

[这个贴子最后由顽石在 2009/02/13 08:42am 第 1 次编辑]

1，2，3，4，5，…，等等，为自然数连续排列。
2，3，5，7，11，…，等等，为素数连续排列。
它们都隔着一段距离。距离就是缝隙。
线段中在点与点之间，存在缝隙，我认为不连续，这样，这个“连续”的概念就会混淆不清了。
为了区别，将中间隔着缝隙的相邻，称为连续；中间不隔着缝隙的，称为所谓的“连续统”。
为此，我从新论述点和缝隙的关系如下。以前的有关的论述，以下为准。
谢谢吴代业2先生，对这个问题的探讨，和对我的启发。
线段究竟是“点连续统”，还是“缝隙连续统”呢？就要对什么是“连续统”？作一个明确的定义。线段上只存在两类东西：点和缝隙。如果我们弄不清楚这两类东西的本质，那么，可设：点为甲，缝隙为乙。
定义连续统：
两个同类之间夹着长度为0的一个异类，称为该同类连续统。
根据定义，因为已知甲长度为0，因此，两个乙之间夹着长度为0的甲，可称为乙连续统。又因为已知乙长度大于0，因此，两个甲之间夹着长度大于0的乙，可称为甲不连续统。因此，缝隙（乙）连续统为真，点（甲）连续统为假。

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极限论极难学的真因：常人拒绝思想混乱的理论 黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631） 本文是黄小宁《不识最大自然数等使课本有一系列重大根本错误》（载《科技信息》2009（32））的第1节。 标准分析之前2千多年的数学一直使用无穷数进行推理计算并取得了一系列伟大成就，只不过对这类举足轻重的“更无理”数一直无力实现由感性认识跃升到理性认识罢了；本文表明实现此飞跃破解由“错误的无穷数概念”竟能推出许多正确结果这一“神秘”之谜竟须历时2千多年！太伟大的实践往往远远超前理论2千多年。故“数学的前进主要是由那些具有超常直觉的人们推动的，而非由那些长于做出严格证明的人们[1]。”当理论无法解释伟大实践时恰恰表明理论有重大缺陷，不能反而由理论来否定无穷数和行之极有效的无穷小数分析法（以下简称w法）。若无穷数不存在，w法就不堪一击而绝不可2千多年不倒。“‘真人不露相’，数学大厦有‘不露相’的骨干数。没有包在墙内的钢筋铁骨的大厦，越建得高就越不堪一击[2]。”本文表明否定这类数是百年重大冤案。 有超常直觉的莱布尼茨运用<任何有穷正数的无穷小正数，建立了微积分。但缺乏超常直觉的后来者错误地认为使用无穷数是非法的，须以极限法来取代w法。然而[2]指出极限论有百年胡涂话。最关键要弄清j式 0＜ρ=1/n＜任意给定的正数ε 中的ε是在哪一范围内任意给定的数？能否在所有正数中任意给定？不能说清此一不通则百不通的最关键问题，就表明极限论是含混不清的——这是其诲涩难懂、极难学难教严重拖了学生学习物理等相关学科后腿的真正原因——因正常人都有天生拒绝接受思想混乱的“高深”学说的本能。“真理都是很朴实的。”当然，应试教育会使人不正常。常人都能明白极限论断定{1/n}中“从某项起以后的各正数项1/n都<ε，明白： j式表达ρ所取各正数ρ均 <ε，“可从某时刻起以后所取各正数ρ均 <ε的ρ>0称为正无穷小”点明没<ε的正数就没正无穷小变数，然而极限论又说无正数＜ε：“任何非0数都不能是无穷小”非常隐蔽地变相否定有正数＜ε而使常人百年不察极限论的自相矛盾性而一直未能真懂极限论（现代有不少书直接断定：任何非0数的绝对值都不可＜ε——赤裸裸断定无正数＜ε，常见此推理：由非负数p＜ε得p必=0。）。鲜明对比的是“莱布尼茨的无穷小概念，即所谓≠0却<任意一个给定值的数。”（[1]书145页）表明莱大师敏锐地不否定有正数＜ε而不搞自相矛盾。“伟大人物的直觉比凡人的推演论证更可靠。”（[1]书166页） 　　[3]书在“序列极限的精确描述”中说j式表示ρ“可以变得比任何一个固定的正数小”（100页）。而正数集的元都是固定正数。刘玉琏等《数学分析讲义学习辅导书上册（二版）》（高教出版社，2003）33页：ε∈（0，1）=D——表示ε可是D的任何一个数。许品芳等《高等数学（上）》5页：“对于任何正数ε”“ε代表着任何一个正数”（兵器工业出版社，1992.7）。无正数＜ε=只有非正数及可取非正数的变数才可＜ε。于是j式是一目了然的百年胡涂话：①说ρ>0可取0。于是又有“ρ是变量而不是数”，但至少可取两数的ρ是变量而不可取数的“鬼魂”ρ不是变量，数与数之间才有大小关系而非数ρ竟也>0——越辩解就越混乱啊！②代表正数的ρ可比任何一个正数都小——病句！ 文献[4]第1节：“本文第六节揭示标准分析从前门拒绝了无穷数从而‘化解了无穷小危机’，然而又从后门‘神不知、鬼不觉地溜进’了明否暗用的起决定性作用的无穷小正数＜ε，这是其与非标准分析等价的原因。拨乱反正地明用无穷数后微积分就易学易教了。” “大道至简至易。”自相矛盾的小道至繁至难，使人花大量时间与精力还是不知其所云，严重阻碍了科技人员迅速掌握数学这一极有力的工具。 　　参考文献 　　[1]M•克莱因着、李宏魁译，数学：确定性的丧失[M]，长沙：湖南科技出版社，1999.4:323。 [2]黄小宁，再论极限论总难学难教的真正原因：有自相矛盾的百年胡涂话[J]，科技信息，2008（1）：29。 　　[3]北京大学数学力学系高等数学教材编写组，常微分方程与无穷级数[M]，北京：人民教育出版社，1978。 　　[4][5][6]黄小宁,50字纠正五千年重大错误：任何自然数n<自然数n+1——续50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数[J]，科技信息（学术版），2008（21）；极显然：自然数集增或减一元就变为非可数集了——中学重大错误：将两异集误为同一集[J]，科技信息，2009（26）；百年集论使人犯极荒唐常识错误：0-1010=0——再论形如{1，2，3，…，n，…}一般都有末项[J]，科技信息，2009（1）。 　　 电联:13178840497 E-mail：hxl268@163.com（hxl中的l是英文字母）